作者 | Helen
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數(shù)學(xué)史上真正的王炸事件，看完后的羅數(shù)君已經(jīng)驚掉下巴！先從回顧80年代的這次SAT烏龍事件開(kāi)始吧！
1982年，一道SAT數(shù)學(xué)題出錯(cuò)，引發(fā)了SAT歷史上最嚴(yán)重的烏龍事件。
出卷方美國(guó)大學(xué)理事會(huì)（College Board）在考后聲明，這道題出卷方給出的答案是錯(cuò)的。五個(gè)選項(xiàng)中，沒(méi)有一個(gè)正確選項(xiàng)。
紐約時(shí)報(bào)1982年5月25日也對(duì)這次高考數(shù)學(xué)題出錯(cuò)事件進(jìn)行了報(bào)道。
當(dāng)年三十萬(wàn)考生中只有三個(gè)考生做對(duì)了這道選擇題。除了那三人，所有人的分?jǐn)?shù)都被扣回去了。如果你是當(dāng)年的考生，你能成為這十萬(wàn)分之一嗎？Circle A has 1/3 the radius of circle B. Circle A rolls around circle B until it turns to its starting position. How many revolutions of circle A are there in total?
這個(gè)問(wèn)題翻譯過(guò)來(lái)是說(shuō)：圓A的半徑是圓B的三分之一，如果我們讓小圓繞大圓轉(zhuǎn)一圈（就像月亮繞太陽(yáng)）回到原點(diǎn)。小圓會(huì)自轉(zhuǎn)幾圈？因?yàn)榇髨A周長(zhǎng)是小圓的3倍，小圓自轉(zhuǎn)3圈的距離應(yīng)該剛好是大圓的周長(zhǎng)。當(dāng)然了，直覺(jué)這個(gè)磨人的小妖精總是欺騙我們，答案并不是3。為什么直覺(jué)犯了錯(cuò)？是因?yàn)槲覀兒茈y想象，圓轉(zhuǎn)動(dòng)一周，圓心走過(guò)的距離是圓的周長(zhǎng)，但是圓上一點(diǎn)走過(guò)的距離卻不是周長(zhǎng)。
這句話說(shuō)出來(lái)就跟繞口令一樣，我們不急著理解。
如果我們將不動(dòng)圓的周長(zhǎng)拉成一條直線，再來(lái)思考這個(gè)問(wèn)題呢？想象一個(gè)圓在一條直線上滾動(dòng)時(shí)，圓邊界上的一個(gè)定點(diǎn)所形成的軌跡。就像滾動(dòng)的車輪從地面上粘起一枚口香糖。當(dāng)車輪繼續(xù)向前時(shí)，這枚口香糖就在空中畫(huà)出一條擺線。
車輪每旋轉(zhuǎn)一周，口香糖就畫(huà)出擺線的一個(gè)拱。這個(gè)軌跡就是著名的“擺線”，又叫做“幾何學(xué)上的海倫”。
如同海倫過(guò)分美麗引起了著名的特洛伊戰(zhàn)爭(zhēng)，美麗的“擺線”，實(shí)在太過(guò)于有用，也因此引起了數(shù)學(xué)史上的眾多大家的爭(zhēng)端。笛卡兒、帕斯卡、約翰 ? 伯努利、萊布尼茲、牛頓都爭(zhēng)相研究擺線的。場(chǎng)面堪稱王炸。誰(shuí)也不知道是哪位數(shù)學(xué)家首先研究清楚了擺線的性質(zhì)。我們先選擇圓上的一點(diǎn)，研究一下這一點(diǎn)的位置是怎樣變化的。從圖像上我們可以看到圓上一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，是一個(gè)弧形。這個(gè)弧形的“拱高”是圓的直徑d，這個(gè)弧形的寬度則剛好是圓的周長(zhǎng)，也正是是圓心走過(guò)的距離。早在17世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們就發(fā)現(xiàn)擺線的長(zhǎng)度剛好是旋轉(zhuǎn)圓直徑的4倍。
回到最初的題目，現(xiàn)在你知道答案是多少了嗎？之前我們考慮的是圓上一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，但是這個(gè)軌跡并不是我們想象的一個(gè)圓。其實(shí)我們只需要考慮圓心走過(guò)的的距離就行了。我們假設(shè)大圓的半徑為3，那么小圓的半徑就為1。我們知道圓心走過(guò)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)新的圓的半徑是兩個(gè)圓半徑的和1+3，也就是說(shuō)這個(gè)軌跡的長(zhǎng)度是8π，而小圓的周長(zhǎng)是2π，所以小圓實(shí)際上自轉(zhuǎn)了4圈。更進(jìn)一步總結(jié)一下，假設(shè)A圓半徑是一個(gè)單位，B圓半徑是A圓的n倍。那么圓心軌跡所形成的新圓的半徑就應(yīng)該是n+1。根據(jù)計(jì)算，新圓周長(zhǎng) = 2*（n+1）π，A圓周長(zhǎng) = 2π，所以小圓就應(yīng)該自轉(zhuǎn)n+1次。其實(shí)這道題就解釋了有名的硬幣悖論(coin paradox)。兩枚一模一樣的硬幣，硬幣1繞硬幣2一圈，要自轉(zhuǎn)兩圈，很多人想不通為什么。
這就是我們這個(gè)問(wèn)題一個(gè)特殊的例子，當(dāng)n=1的時(shí)候，圓心軌跡這個(gè)新圓的半徑就應(yīng)該是2，所以小圓就應(yīng)該自轉(zhuǎn)2次。
然而早在史前三百多年亞里士多德就已經(jīng)提出相似的問(wèn)題了，叫做車輪悖論。亞里士多德觀察到，車輪轉(zhuǎn)一圈，內(nèi)外兩個(gè)圓都回到原點(diǎn)，兩個(gè)圓走過(guò)的路程應(yīng)該是一樣的。但是這個(gè)路程等于大圓的周長(zhǎng)，卻大于小圓的周長(zhǎng)，到底是什么地方出了錯(cuò)？看起來(lái)像是一個(gè)難題，但是解決了前一道題的你，一定能明白這到底是為什么吧？兩個(gè)圓走過(guò)同樣的路程，實(shí)際上的兩個(gè)圓的圓心走過(guò)了同樣的路程，因?yàn)樗鼈兪峭膱A，這是毋庸置疑的。可是對(duì)于圓上的一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，它走過(guò)的距離與圓的大小有關(guān)。我們知道兩個(gè)圓上的點(diǎn)經(jīng)過(guò)的軌跡其實(shí)分別是兩條不一樣的擺線。小圓的擺線更短，效率更高。實(shí)際上，小圓的擺線有一個(gè)特殊的名稱叫短伏擺線，和擺線同屬一個(gè)家族。
而擺線的故事卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)還沒(méi)有結(jié)束。文章開(kāi)篇的時(shí)候我們說(shuō)過(guò)，擺線因?yàn)樯钍芨魑粩?shù)學(xué)家的喜愛(ài)，甚至挑起了數(shù)學(xué)史上絕無(wú)僅有的爭(zhēng)端，正所謂“幾何學(xué)的海倫”。伽利略可能是第一個(gè)認(rèn)真研究過(guò)擺線的科學(xué)家。1640年，伽利略（Galileo）給卡瓦列里（Cavalieri）的信中寫(xiě)道：“我思考這個(gè)形狀已經(jīng)五十年多了?！?/span>伽利略也是第一個(gè)命名擺線（“cycloid”）的科學(xué)家。他用同樣的材料切割出擺線和產(chǎn)生擺線的圓，通過(guò)他們的質(zhì)量比，伽利略推算出擺線和x軸圍成的面積與產(chǎn)生它的圓的面積比大約是3:1。大約同一時(shí)期，羅貝爾瓦（Roberval）在寫(xiě)給笛卡爾（Descartes）的信中正式證明了這個(gè)結(jié)果。羅貝爾瓦大費(fèi)周章地作了一條輔助線AQD（后來(lái)被證明是正弦波的形狀），并且求出了中間水滴形AQDP的面積應(yīng)該是1/2πr^2。根據(jù)祖暅原理，也就是前文提到過(guò)的卡瓦列里原理，我們知道曲線AQD將長(zhǎng)方形ABDC平分成兩半，AB是圓的直徑也就是2r，CD 是圓周長(zhǎng)的一半，所以是πr。所以AQDC的面積是πr^2。那么整個(gè)ACDP的面積就是3/2πr^2。因?yàn)檫@里只是擺線的一半，我們可以說(shuō)這個(gè)擺線下的面積是3倍對(duì)應(yīng)圓的面積。無(wú)巧不成書(shū)，伽利略最后的學(xué)生和助理托里拆利（Torricelli）搶先一步發(fā)表了這個(gè)證明。而實(shí)際上他們倆分別獨(dú)自發(fā)現(xiàn)了這個(gè)證明。令人唏噓的是，直到托里拆利染上風(fēng)寒去世的前夕，他仍然在收集證據(jù)，證明他是獨(dú)自解決了這個(gè)難題。羅貝爾瓦和托里拆利的戰(zhàn)爭(zhēng)并沒(méi)有隨著托里拆利的逝世而淡出人們的視線。他們的戰(zhàn)爭(zhēng)一直延續(xù)到了帕斯卡（Pascal）發(fā)表“擺線簡(jiǎn)史”（History of Pascal）。對(duì)的，這個(gè)帕斯卡就是重新發(fā)現(xiàn)了楊輝三角的帕斯卡。某個(gè)夜黑風(fēng)高的晚上，帕斯卡覺(jué)得牙疼，于是開(kāi)始思考擺線的性質(zhì)，思考思考甚至忘記了疼。帕斯卡覺(jué)得這是上帝的旨意，于是花了八天來(lái)研究擺線，并發(fā)表了“擺線簡(jiǎn)史”。但是“擺線簡(jiǎn)史”在意大利遭到了人們的抵制，正是因?yàn)榕了箍ㄖС至朔▏?guó)數(shù)學(xué)家羅貝爾瓦的說(shuō)法。英國(guó)數(shù)學(xué)家瓦里斯（Wallis）也在同一時(shí)期發(fā)表了類似的結(jié)果。1650年左右，英國(guó)建筑學(xué)家雷恩寫(xiě)信（圣保羅大教堂設(shè)計(jì)者）說(shuō)擺線的長(zhǎng)度正好是對(duì)應(yīng)圓的八倍。當(dāng)然了，羅貝爾瓦這時(shí)候又跳出來(lái)說(shuō)他早就證明了這個(gè)結(jié)果。不過(guò)真相就不得而知了?？墒菙[線的故事到這里卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有結(jié)束。1629年，笛卡爾的摯友康斯坦丁的兒子出生，他就是惠更斯（Huygens）。折磨理科生三年的單擺周期公式就是他發(fā)現(xiàn)的。惠更斯業(yè)余時(shí)間是個(gè)數(shù)學(xué)家，主業(yè)卻是個(gè)鐘表匠。他在研究更精確的鐘表時(shí)一不小心發(fā)現(xiàn)了“等時(shí)曲線”。如果我們將一個(gè)小球放置在等時(shí)曲線上任一點(diǎn)使其自由下滑至到最低點(diǎn)所需要的時(shí)間都相等。通過(guò)嚴(yán)格的幾何證明，惠更斯發(fā)現(xiàn)這條曲線正是我們魂?duì)繅?mèng)縈的“擺線”！不久以后，理科生的另外兩大噩夢(mèng)拉格朗日（Lagrange）和歐拉（Euler）也紛紛用解析法算出了這條等時(shí)降線。
正當(dāng)我們認(rèn)為擺線可能已經(jīng)到達(dá)了人生的巔峰，更驚喜的事情還在后頭。1696年，伯努利在《博學(xué)通報(bào)》（Acta Eruditorum）發(fā)表了關(guān)于最速降線的研究。最速降線是指我們放一個(gè)小球在一點(diǎn)A沿某條曲線滾到低一點(diǎn)的B點(diǎn)，該以什么樣的曲線行進(jìn)才能讓所需的時(shí)間最短。牛頓、伯努利、萊布尼茲（Leibniz）和洛必達(dá)（l’hopital）都得出同一結(jié)論，即正確的答案應(yīng)該是擺線的一段。
除了洛必達(dá)的解外，其他人的解都在1697年5月的《博學(xué)通報(bào)》出現(xiàn)。大概同一時(shí)期，關(guān)于牛頓和萊布尼茨誰(shuí)先發(fā)明了微積分的爭(zhēng)論也甚囂塵上，當(dāng)然這是后話了。正是擺線許許多多優(yōu)美的性質(zhì)讓數(shù)學(xué)家們魂?duì)繅?mèng)縈，甚至不惜大打出手。完全配得上“幾何學(xué)的海倫”這個(gè)希臘第一美女的稱號(hào)。
可是擺線的故事并沒(méi)有到此為止，那些亞里士多德想不明白的問(wèn)題，我們花了幾百年，伽利略，帕斯卡和惠更斯把它想明白了。而惠更斯，牛頓和萊布尼茨想不明白的問(wèn)題，希望在接下來(lái)的幾十年來(lái)，讀文章的你能夠再想想看。萬(wàn)物靜默如謎，數(shù)學(xué)之所以令人神往，就是因?yàn)槲覀冏咴诼飞?，隨處有前人解不開(kāi)的謎題。
