2022年中國(guó)臺(tái)灣數(shù)學(xué)奧林匹克的試題
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今天先給大家推送2022年中國(guó)臺(tái)灣數(shù)學(xué)奧林匹克的試題。以下內(nèi)容來自于微信公眾號(hào)：恩次方根。
設(shè)正整數(shù)，，滿足．若且求證：為完全平方數(shù)． 本題選自2021年IMO預(yù)選題，將于2022年IMO舉辦之后公開 求所有函數(shù)，：，滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)，，，，都有 兩個(gè)嬰兒和用瓶牛奶進(jìn)行一個(gè)游戲．每個(gè)奶瓶的最大容量為，最初每個(gè)奶瓶中裝有的牛奶．從開始，兩人輪流執(zhí)行以下操作之一：
(1)選擇一瓶至少的牛奶，喝掉一半；
(2)選擇兩瓶少于的牛奶，將其中一瓶中的牛奶倒入另一個(gè)奶瓶中，并將空瓶丟掉．
無法進(jìn)行任何操作者輸?shù)粲螒颍畣枺赫l有必勝策略？
（命題人注：本題的另一個(gè)版本是，最初有個(gè)奶瓶中裝有的牛奶，另外個(gè)奶瓶中裝有的牛奶．兩個(gè)問題的解決方案截然不同．
因此，一個(gè)有趣的問題是：在給定任意初始狀態(tài)的情況下，確定具有獲勝策略的人．這似乎是一個(gè)非常困難的問題，我們會(huì)對(duì)朝著這個(gè)方向取得的任何進(jìn)展感興趣．）在銳角三角形中，為點(diǎn)所對(duì)的旁心．設(shè)，為外接圓上的兩點(diǎn)，且滿足．上一點(diǎn)滿足和的外接圓相切．的外接圓上一點(diǎn)滿足和平行．求證：．
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