2022年第21屆中國(guó)女子數(shù)學(xué)奧林匹克

天津

第一天 2022年8月12日 8:00-12:00

1. 考慮所有滿足以下兩個(gè)條件的實(shí)數(shù)序列，，，，：
   (1)；
   (2)對(duì)任意整數(shù)，，有．
   求最大的正整數(shù)，使得對(duì)任意這樣的序列，，，，，均有

2. 設(shè)是正整數(shù)．有支女子排球隊(duì)參加錦標(biāo)賽，每?jī)芍蜿?duì)之間至多比賽一場(chǎng)（排球比賽沒(méi)有平局）．已知該錦標(biāo)賽一共比賽了場(chǎng)．
   證明：存在一支球隊(duì)，其勝場(chǎng)數(shù)與負(fù)場(chǎng)數(shù)均不小于．

3. 在三角形中，，是內(nèi)心，是中線．設(shè)過(guò)且與垂直的直線與交于點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為．證明：．

4. 給定素?cái)?shù)．求三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積模的不同余數(shù)的個(gè)數(shù)．