點(diǎn)擊領(lǐng)取>>>全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽各賽區(qū)歷屆真題試卷及答案
[引言]從2010年起，國內(nèi)數(shù)學(xué)高聯(lián)賽分為一試和二試(加試)。一試考試時(shí)間為每年9月中旬第一個(gè)周日上午8：00—9：20，共80分鐘。包括8道填空題（每題8分）和3道解答題（分別為16分、20分、20分），滿分120分。[題目9]若△ABC的內(nèi)角A,B,C滿足sinA=cosB=tanC，求cos3A+cos2A-cosA的值．[解析]由于sinA=cosB，所以A=π/2±B。又由于tanC有意義，所以C不為直角，即只能為A=π/2+B。于是，
[題目10]給定正整數(shù)m(m≥3)。設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列{an}與正項(xiàng)等比數(shù)列{bn}滿足：{an}的首項(xiàng)等于{bn}的公比，{bn}的首項(xiàng)等于{an}的公差，且am=bm。求am的最小值，并確定當(dāng)am取到最小值時(shí)a1與b1的比值。[解析]根據(jù)題設(shè)，設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a，公差為b，數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為b，公差為a，其中，a,b＞0。則數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為
將上式兩邊乘以(m-1)2，并利用多元均值不等式，有
當(dāng)且僅當(dāng)(m-1)2b=λ-(m-1)b時(shí)取等，即
于是，當(dāng)am取到最小值時(shí)，即λ取得最小值時(shí)，a1與b1的比值為
[題目11]在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線Г：x2/3-y2=1。對(duì)平面內(nèi)不在Г上的任意一點(diǎn)P，記ΩP為過點(diǎn)P且與Г有兩個(gè)交點(diǎn)的直線的全體。對(duì)任意直線l∈ΩP，記M,N為l與Г的兩個(gè)交點(diǎn)，定義fP(l)=|PM|?|PN|。若存在一條直線l0∈ΩP，滿足：l0與Г的兩個(gè)交點(diǎn)位于y軸異側(cè)，且對(duì)任意直線l∈ΩP，l≠l0，均有fP(l)＞fP(l0)，則稱P為“好點(diǎn)”。求所有好點(diǎn)所構(gòu)成的區(qū)域的面積。[解析]設(shè)P(a,b)為好點(diǎn)，下面求取a,b需滿足的充要條件。對(duì)任意直線l∈ΩP，設(shè)直線l的傾角為θ(0≤θ＜π)，則直線l的參數(shù)方程為，
根據(jù)題設(shè)，上述二次方程有兩個(gè)不同的解，因此3sin2θ-cos2θ≠0，
于是，滿足上述條件θ，根據(jù)參數(shù)t的幾何意義有
由于點(diǎn)P不在Г上，所以|3b2-a2+3|＞0。當(dāng)l與Г交于y軸異側(cè)兩點(diǎn)時(shí)，由雙曲線Г的性質(zhì)可知θ∈[0,π/6)∪(5π/6,π)。此時(shí)3sin2θ-cos2θ＜0，于是有
當(dāng)θ=0時(shí)，fP(l)取得最小值
當(dāng)l與Г交于y軸同側(cè)兩點(diǎn)時(shí)，由雙曲線Г的性質(zhì)可知θ∈(π/6,5π/6)。若存在符合題意的l，有
即θ∈(π/6,π/4)∪(3π/4,5π/6)。換句話講，對(duì)于θ∈[π/4,3π/4]，a,b不滿足前述條件，即
反之，若上式成立，且θ∈[π/4,3π/4]，注意到，此時(shí)sinθ≥|cosθ≥0，則有
綜上，P(a,b)為好點(diǎn)的充分必要條件為|a|+|b|≤√2。所求的面積為4。
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