法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊曾經(jīng)提出一個(gè)問題：既然數(shù)學(xué)的證據(jù)建立于所有正常心智都能接受的邏輯規(guī)則之上，那么，為什么有人不理解數(shù)學(xué)呢？這是如何發(fā)生的呢？這個(gè)問題無(wú)疑牽涉到數(shù)學(xué)教育，以及數(shù)學(xué)和人類認(rèn)知的關(guān)系等問題：數(shù)學(xué)是自然界的客觀規(guī)律，還是人類大腦純粹的主觀構(gòu)造？我們要怎樣才能學(xué)好數(shù)學(xué)？

前不久，首都師范大學(xué)特聘教授李克正在一場(chǎng)名為“如何學(xué)數(shù)學(xué)”的專題講座上探討了這一問題。本文根據(jù)講座內(nèi)容整理而成，希望對(duì)您會(huì)有所啟發(fā)。

撰文 | 李克正（首都師范大學(xué)特聘教授）

這個(gè)題目不好講，因?yàn)槊總€(gè)人應(yīng)該根據(jù)自己的情況找到最適合自己的學(xué)習(xí)方法，即使只是要給某一個(gè)同學(xué)提建議，也得先對(duì)這個(gè)同學(xué)有充分的了解。

但反過來(lái)看，常見很多人對(duì)于數(shù)學(xué)采取的不適當(dāng)學(xué)習(xí)方法，倒是有很多共同之處。簡(jiǎn)言之，正確的道路各不相同，錯(cuò)誤的道路卻常雷同。我們就從這個(gè)角度開始討論。

0 不要相信“教育學(xué)家”的話

很多人以為數(shù)學(xué)教育屬于教育學(xué)的范圍，其實(shí)不對(duì)。數(shù)學(xué)教育有很多實(shí)質(zhì)上的特殊性，在教育學(xué)的教科書中完全沒有涉及。例如有教育家說學(xué)習(xí)知識(shí)的一般方法是“理解+記憶”，這對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就不適用。

很多中學(xué)招聘數(shù)學(xué)教師，寧可要數(shù)學(xué)專業(yè)出身但沒學(xué)過教育學(xué)的，也不愿要教育學(xué)出身但數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的。不久前我看到美國(guó)一個(gè)數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的教授說，他的最差的學(xué)生都是教育學(xué)出身。

近來(lái)中國(guó)和美國(guó)的很多數(shù)學(xué)教育方面的專家在討論教育學(xué)家對(duì)于數(shù)學(xué)教育的傷害，但這離開本報(bào)告的題目較遠(yuǎn)，所以我們僅僅提醒大家不要被某些“教育學(xué)家”誤導(dǎo)。應(yīng)該針對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特殊性來(lái)討論。

那么，與其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有些什么特殊性呢？

（1）數(shù)學(xué)根本上來(lái)自自然界，因此學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要擁抱自然，特別是要避免脫離自然。

（2） 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最強(qiáng)動(dòng)力是興趣，因此培養(yǎng)興趣對(duì)于學(xué)好數(shù)學(xué)至關(guān)重要。

（3） 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)的質(zhì)量對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的質(zhì)量有重要影響。

（4）數(shù)學(xué)的內(nèi)容極為廣闊，因此學(xué)習(xí)的內(nèi)容 （包括教科書）的選擇極為重要。

（5）數(shù)學(xué)競(jìng)賽對(duì)于激勵(lì)數(shù)學(xué)興趣和提高數(shù)學(xué)水平有重要的作用，但要避免一些誤區(qū)。

（6）數(shù)學(xué)是科學(xué)，所以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)該用學(xué)習(xí)科學(xué)的方法，而不是用例如學(xué)習(xí)技術(shù)或法規(guī)的方法。

（7）學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程不僅有知識(shí)的積累，而且有理念的提升，為了培養(yǎng)數(shù)學(xué)素質(zhì)尤其需要因材施教。

我們下面針對(duì)每個(gè)特點(diǎn)講得具體些，能否講完并不要緊，只希望同學(xué)們能看到一些要點(diǎn)。因此，如果有問題請(qǐng)隨時(shí)提出。

1學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要擁抱自然

首先問大家一個(gè)問題：

數(shù)學(xué)是自然界的客觀規(guī)律，還是人腦子中的純粹主觀的東西？

不要求大家馬上回答，因?yàn)檫@個(gè)問題即使在成年人中，甚至在科學(xué)家中也一直有著激烈的爭(zhēng)論，是個(gè)根本性的哲學(xué)問題。

徹底的唯物主義者認(rèn)為，數(shù)學(xué)根本上來(lái)自自然界，因此學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要擁抱自然，特別是要避免脫離自然。一些數(shù)學(xué)家（如小平邦彥）采用“數(shù)覺”這個(gè)術(shù)語(yǔ)，即對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象的物理直觀。

然而一種非常普遍的觀點(diǎn)是：數(shù)學(xué)是“理論科學(xué)”，只是動(dòng)動(dòng)腦子的事，“數(shù)學(xué)對(duì)很多人來(lái)說是枯燥的、深?yuàn)W的、抽象的”（參看參考文獻(xiàn) [3]），甚至是乏味的、無(wú)用的、無(wú)聊的。更有些極端的看法，否認(rèn)數(shù)學(xué)是科學(xué)，否認(rèn)數(shù)學(xué)所研究的是自然規(guī)律，認(rèn)為自然數(shù)純粹是人腦子里的東西，或者是“存在于天上的純粹理性”，或者純粹是文字和符號(hào)的游戲，等等。抱著這樣的態(tài)度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，難免脫離實(shí)際，甚至完全沒有“數(shù)覺”。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不是只要認(rèn)識(shí)數(shù)字，會(huì)寫會(huì)算就行。首先要理解自然數(shù)的“自然”意義，沒有“數(shù)覺”卻只管練習(xí)記數(shù)、計(jì)算等，是學(xué)不懂?dāng)?shù)學(xué)的。

小學(xué)生做很多數(shù)學(xué)應(yīng)用題，中學(xué)生卻很少做甚至不做，其實(shí)中學(xué)生更應(yīng)該做，這是回歸自然的一個(gè)重要途徑。什么樣的習(xí)題是“自然”的呢？這不太容易說清楚，但“自然”的反義詞是“人工”，那些在自然界中不存在的現(xiàn)象，人為編造的條件，牽強(qiáng)附會(huì)的假設(shè)，與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)的語(yǔ)言障礙或陷阱等都屬于這一類。例如小學(xué)教科書上有個(gè)題目：

在一個(gè)倉(cāng)庫(kù)里有很多葡萄，經(jīng)過一段時(shí)間由于水分蒸發(fā)重量變輕了。重量少了多少呢？答案是 50% 。

這樣不“自然”的習(xí)題很常見。

華羅庚先生當(dāng)年做數(shù)學(xué)普及報(bào)告，經(jīng)常舉日常生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)的生動(dòng)例子。如

• 蜂巢為什么最省材料？

• 什么樣的茶葉桶蓋掉不下去？

• 街口的紅綠燈應(yīng)該怎樣設(shè)計(jì)？

• 蘇聯(lián)導(dǎo)彈試驗(yàn)場(chǎng)的奇怪形狀說明了什么？

這些報(bào)告都給了聽眾們非常深刻的印象，一個(gè)重要的原因就是其中有很多自然的例子。

還有一種常見的論調(diào)，說生活中只需要用到小學(xué)的數(shù)學(xué)，更深的數(shù)學(xué)沒用。實(shí)際上現(xiàn)在大多數(shù)人學(xué)的數(shù)學(xué)都是很成熟的數(shù)學(xué)，只要學(xué)通了都很有用。為了讓同學(xué)們自己有所體會(huì)，這里留一個(gè)小學(xué)水平的習(xí)題。

習(xí)題：

某商店舉辦返券銷售活動(dòng)，小萌和媽媽聽說后一起去逛商店，希望能“淘”到幾件平時(shí)舍不得買的東西。到店里看到這樣的規(guī)則：

購(gòu)買服裝類每付現(xiàn)金 100 元返回禮券 80 元，鞋類每付 100 元返券 60 元，用具類每付 100 元返券 40 元，所付現(xiàn)金不足 100 元的部分不返券，所返的券可在返券銷售活動(dòng)期間在店里買任何商品。

媽媽看中一套衣服，標(biāo)價(jià)為 498 元；小萌看中一雙運(yùn)動(dòng)鞋，價(jià)格為 320 元；媽媽還想買一套炊具，價(jià)格為 245 元。怎樣買才能盡可能省錢呢？

中學(xué)生在數(shù)學(xué)的應(yīng)用方面應(yīng)該比小學(xué)生有更高的要求，不僅要會(huì)做應(yīng)用題，而且要能夠?qū)?shí)際工作中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并予以解決，就是說要培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的能力。

陳省身先生說過：“數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)的訓(xùn)練普遍的有用”。但對(duì)于數(shù)學(xué)有嚴(yán)重偏見的人（包括缺乏數(shù)覺的人）是不可能理解這兩句話的。

2 培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣

數(shù)學(xué)揭示自然界的規(guī)律，而人本來(lái)就屬于自然界，了解自然界的欲望是人類的本能，因此對(duì)數(shù)學(xué)的興趣是可以自然地形成的。但是，如果學(xué)的或做的是不自然的數(shù)學(xué)，則無(wú)助于培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣，甚至?xí)?shù)學(xué)興趣。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最強(qiáng)動(dòng)力是興趣，比其他動(dòng)力如功利、榮譽(yù)甚至強(qiáng)迫等的動(dòng)力都要大。遺憾的是，我遇到過一些同學(xué)本來(lái)很喜歡數(shù)學(xué)，后來(lái)卻由于不當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)教育變得不喜歡甚至恨數(shù)學(xué)。

陳省身先生給小學(xué)生的一個(gè)題字是“數(shù)學(xué)好玩”。不知在座的有多少同學(xué)覺得數(shù)學(xué)好玩。

常州懷德苑小學(xué)的大多數(shù)同學(xué)都很喜歡數(shù)學(xué)，他們?cè)谛@里到處都會(huì)受到數(shù)學(xué)的熏陶（見下圖）。他們上數(shù)學(xué)課也常是在玩中學(xué)。該校還寫了一本書《玩數(shù)學(xué)》（參看參考文獻(xiàn) [9]），系統(tǒng)地說明了在這方面的理念、成績(jī)和規(guī)劃。

校園里的“數(shù)學(xué)”。

3 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

作為科學(xué)，數(shù)學(xué)產(chǎn)生于實(shí)驗(yàn)，在這一點(diǎn)上與物理、化學(xué)等都是一致的。離開自然界，數(shù)學(xué)根本不可能存在——不可能產(chǎn)生。最早的數(shù)學(xué)研究對(duì)象—— 自然數(shù)的客觀存在，是一個(gè)物理事實(shí)，人類只是“發(fā)現(xiàn)”而不是“發(fā)明”了自然數(shù)。

小孩子扳著手指數(shù)數(shù)，就是一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（當(dāng)然是很簡(jiǎn)陋的）。小時(shí)候玩的一些玩具中也有簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。作為計(jì)算工具已經(jīng)淘汰的算盤，也是一種數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)備，它的數(shù)學(xué)教育功能尚未完全過時(shí)。在初中數(shù)學(xué)教育中，原來(lái)也有必備的通用實(shí)驗(yàn)工具—— 圓規(guī)和直尺。

一個(gè)班的學(xué)生中一般總有幾個(gè)學(xué)得不好的，很多人將此簡(jiǎn)單地歸因于這些學(xué)生“笨”或者“懶”，還有歸因于“智商”的（而且有些人將智商說成是先天因素）。另一方面，經(jīng)常也總有幾個(gè)學(xué)生學(xué)得很好，這也使一些人認(rèn)為他們“聰明”“勤奮”或“智商高”，由此往往會(huì)得出一個(gè)錯(cuò)誤的判斷，就是在數(shù)學(xué)教學(xué)中不需要實(shí)驗(yàn)，沒有實(shí)驗(yàn)他們不是也學(xué)得很好嗎？其實(shí)不然。少數(shù)學(xué)生不需要某個(gè)實(shí)驗(yàn)，可能是因?yàn)樗麄円郧白鲞^有同樣效果的實(shí)驗(yàn)，但其他學(xué)生仍是需要的。

近年來(lái)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在數(shù)學(xué)教育中日益受到重視，只是實(shí)驗(yàn)手段還有待提高。例如，

• 為讓學(xué)生理解全等的概念，現(xiàn)在最好的中學(xué)數(shù)學(xué)教師所采用的實(shí)驗(yàn)仍是用兩張透明膠片滑移使圖形重合，還沒有比這更好的手段；

• 為了理解長(zhǎng)方體，可以用疊紙盒的方法做實(shí)驗(yàn)，這實(shí)驗(yàn)用電腦應(yīng)是可以虛擬化的（在電腦顯示屏上看到），但至今還沒有人做出相應(yīng)的程序，而做這樣一個(gè)程序，工程不小、成本也不低；

• 為了理解用平面切割圓錐得到圓錐曲線，一個(gè)簡(jiǎn)單而粗糙的實(shí)驗(yàn)是用手電筒照墻面，現(xiàn)在還沒有比這更方便更精確的手段，等等。

現(xiàn)在很多小學(xué)建立了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，例如懷德苑小學(xué)（見下圖）。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室

除了這些實(shí)驗(yàn)設(shè)備外，一個(gè)較為先進(jìn)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手段是計(jì)算機(jī)虛擬實(shí)驗(yàn)（參看參考文獻(xiàn) [17]）。張景中先生建立的“超級(jí)畫板”可以作為一個(gè)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，我們與張先生合作建立了一些虛擬實(shí)驗(yàn)，包括運(yùn)動(dòng)、角、勾股定理（割補(bǔ)法）、數(shù)軸、牛頓-萊布尼茲公式等。

在更深的數(shù)學(xué)中，實(shí)驗(yàn)同樣有助于學(xué)習(xí)。例如下面的實(shí)驗(yàn)是為了理解群論的（hexa1，2，6）。

4 學(xué)習(xí)內(nèi)容的選擇

一個(gè)中小學(xué)老師能把給定的數(shù)學(xué)教程教好，就是優(yōu)秀教師了。至于數(shù)學(xué)教程中應(yīng)該有哪些內(nèi)容，這不是老師應(yīng)該管的，而且一般是管不了的。

“教什么”的問題，在其他學(xué)科中一般不很尖銳，至少有一部分內(nèi)容是近年來(lái)的新進(jìn)展。例如生命科學(xué)，現(xiàn)在都要講基因，而在六十年前完全沒有，因?yàn)槟菚r(shí)基因還沒發(fā)現(xiàn)。

但數(shù)學(xué)卻不然，一般人學(xué)的最新也是幾百年前的數(shù)學(xué)，即使兩千多年前歐幾里德寫的《幾何原本》，現(xiàn)在也仍然可用。在數(shù)千年甚至更長(zhǎng)的歷史時(shí)期中，數(shù)學(xué)有豐富的積累，其中有很多是永遠(yuǎn)不會(huì)過時(shí)的。這么多的內(nèi)容，任何人都不可能讀完。那么一般人應(yīng)該學(xué)哪些內(nèi)容，就是一個(gè)非常不平凡的問題了。

數(shù)學(xué)的內(nèi)容極為廣闊，因此學(xué)習(xí)的內(nèi)容（包括教科書）的選擇極為重要。這就是需要高水平的數(shù)學(xué)家來(lái)為中學(xué)生寫書的原因。數(shù)學(xué)大師傅種孫、吳文俊等都翻譯過國(guó)外的中學(xué)優(yōu)秀教科書。

現(xiàn)在經(jīng)常聽到的一個(gè)口號(hào)是“減負(fù)”，然而很多人覺得越減越重。其實(shí)看看統(tǒng)編教科書確實(shí)內(nèi)容的量沒減小，在減掉一些內(nèi)容的同時(shí)又悄悄加入了另一些內(nèi)容。遺憾的是，減掉的多為精華，增加的卻全是垃圾。這也是統(tǒng)編教科書越來(lái)越令人覺得無(wú)聊的一個(gè)原因。當(dāng)然，內(nèi)容的選擇只是一個(gè)方面，寫作質(zhì)量也很重要。現(xiàn)在常見統(tǒng)編教科書中出現(xiàn)數(shù)學(xué)錯(cuò)誤，這當(dāng)然要誤人子弟的。

1960 年代，在華羅庚先生的倡導(dǎo)下，很多數(shù)學(xué)家為中學(xué)生寫課外讀物，出版了一套《數(shù)學(xué)小叢書》，有十余本。華羅庚先生身先士卒寫了兩本：第 1 號(hào)《從楊輝三角談起》和第 3 號(hào)《從祖沖之的圓周率談起》，后來(lái)又寫了《從孫子的“神奇妙算”談起》，此外還寫了一些別的小冊(cè)子，其中《數(shù)學(xué)歸納法》和《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題》后來(lái)也收入《數(shù)學(xué)小叢書》中。這些書的質(zhì)量都是非常高的，是真正的精品，即使在今天也仍是極好的中學(xué)生讀物。遺憾的是現(xiàn)在讀這些書的人很少，連中學(xué)教師都很少有讀過的。

如果一個(gè)同學(xué)已經(jīng)能夠自己獨(dú)立地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，那么對(duì)于所讀的書要有所選擇，挑選自己覺得好的書。當(dāng)然也可能選得不對(duì)，我自己就讀過一本看上去很有意思的書，但讀完后大失所望。我曾經(jīng)對(duì)一個(gè)同學(xué)說：“你選讀的那本書質(zhì)量很差，不值得讀?！蹦峭瑢W(xué)反問道：“我不讀怎么知道它很差呢？”你們覺得這個(gè)同學(xué)的話有道理嗎？我覺得很有道理，因?yàn)槁爠e人的評(píng)價(jià)不能代替自己的評(píng)價(jià)，自己判斷錯(cuò)， 吃了虧，得到教訓(xùn)，是成長(zhǎng)的不可缺少的環(huán)節(jié)。

5 數(shù)學(xué)競(jìng)賽

數(shù)學(xué)競(jìng)賽是一種非常好的教育方法，它能激勵(lì)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，發(fā)現(xiàn)人才，提高學(xué)生的素質(zhì)，開闊學(xué)生的眼界。此外，它能建立數(shù)學(xué)界與青少年溝通的橋梁，吸引數(shù)學(xué)家對(duì)青少年人才培養(yǎng)的投入，吸引學(xué)術(shù)界和社會(huì)對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展的關(guān)注等。

數(shù)學(xué)競(jìng)賽是一種學(xué)術(shù)性很強(qiáng)的競(jìng)賽，需要依靠數(shù)學(xué)家來(lái)組辦，尤其是命題。我參加過多種中、小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的命題，深知這是難度很高而且非常辛苦的工作。

“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽的命題標(biāo)準(zhǔn)尤其高。為了一個(gè)題目，教授們要開討論班討論多次，而且絕大多數(shù)題目都不能通過。簡(jiǎn)言之，數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的內(nèi)容既要基于學(xué)生的課程內(nèi)容，又不能落入俗套；既要有難度，又要簡(jiǎn)單；既考驗(yàn)智慧，又啟發(fā)新的智慧；既不能超出學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)的范圍，又要有高的深刻的觀點(diǎn)。

由此可以體會(huì)到當(dāng)年華羅庚先生和其他數(shù)學(xué)家做競(jìng)賽命題這件事有多辛苦。越是大的數(shù)學(xué)競(jìng)賽越是需要數(shù)學(xué)家。反之，如果在舉辦數(shù)學(xué)競(jìng)賽時(shí)排斥數(shù)學(xué)家，就是從根本上造假。

很多人跟我談“奧數(shù)”我都拒絕回應(yīng)。什么是“奧數(shù)”？其本來(lái)的意思是國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（IMO），但現(xiàn)在很多人所說的“奧數(shù)”與 IMO 毫無(wú)關(guān)系，只是打著“奧數(shù)”的牌子開培訓(xùn)班和搞競(jìng)賽。其中有些講究質(zhì)量，但大多數(shù)只是將以往的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題用作培訓(xùn)題或稍加改動(dòng)用于競(jìng)賽。我就經(jīng)?？吹揭酝娜A杯賽題被反復(fù)使用，甚至盜版。

我國(guó)自 1950 年代華羅庚先生倡導(dǎo)數(shù)學(xué)競(jìng)賽以來(lái)，數(shù)學(xué)競(jìng)賽在推動(dòng)科學(xué)技術(shù)發(fā)展和人才培養(yǎng)等方面作出了不可磨滅的貢獻(xiàn)。許多數(shù)學(xué)家參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽，關(guān)注中學(xué)教育，這些對(duì)我國(guó)的發(fā)展是非常寶貴的。

在座的同學(xué)們有很多參加過數(shù)學(xué)競(jìng)賽。你們可以回顧一下，在競(jìng)賽中做過的一個(gè)題目對(duì)你是不是新鮮的？是不是自然的？是不是有趣的？做了是不是有長(zhǎng)進(jìn)？做了以后是不是又曾用到？

6 用學(xué)習(xí)科學(xué)的方法

數(shù)學(xué)告訴我們科學(xué)的真理，它們深刻地揭露自然界的秘密，在這方面它與物理、化學(xué)、生命科學(xué)等是一樣的。我們來(lái)看幾個(gè)例子。

例 1. 勾股定理。直角三角形的兩直角邊長(zhǎng) a，b 與斜邊長(zhǎng) c滿足a2+b2=c2。

例 2. 圓的面積。直徑為 r 的圓的面積為 πr2。

例 3. 加法定理。

例 4. 代數(shù)基本定理。任何非常數(shù)復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式必有一個(gè)復(fù)零點(diǎn)。

例 5. “費(fèi)爾馬大定理”。設(shè) n 為大于 2 的整數(shù)，則方程 xn+yn=zn 沒有非平凡的整數(shù)解。

這些真理的表述都非常簡(jiǎn)單，使得人們很容易理解和應(yīng)用。但是它們都不是簡(jiǎn)單的常識(shí)或直觀上可以看到的事實(shí)。

常常很多人使用一個(gè)數(shù)學(xué)定理但不知道或不懂得它的證明，這沒有危險(xiǎn)，因?yàn)閿?shù)學(xué)家保證了定理的可靠性。但能使用并不等于掌握。這可能有潛在的問題。

數(shù)學(xué)中的深刻定理都是經(jīng)過很多人的長(zhǎng)期艱苦探索才發(fā)現(xiàn)和證明的，而基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究與理論物理類似，都屬于理論研究的范圍。

由此可見，數(shù)學(xué)是科學(xué)，所以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)該用學(xué)習(xí)科學(xué)的方法，就是說要理解科學(xué)原理，直至完全懂得；而不是用例如學(xué)習(xí)技術(shù)或法規(guī)的方法。

數(shù)學(xué)的教育，絕不僅僅是一種知識(shí)的傳播，而更是包含能力的培養(yǎng)和理念的建立。

就以識(shí)數(shù)而言，豈是認(rèn)識(shí) 1, 2, 3, 4, 5, ... 那樣簡(jiǎn)單。首先，需要通過上面所說的“擁抱自然”，物理地理解數(shù)字符號(hào)的意義，這種理解還要通過以后所做的應(yīng)用題進(jìn)一步深化。進(jìn)而要了解數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，從而對(duì)于自然數(shù)數(shù)有更深入的理解，并且從中培養(yǎng)計(jì)算和應(yīng)用等方面的能力。直到完成“我什么數(shù)都會(huì)數(shù)了”這一飛躍的時(shí)候，才算完成了識(shí)數(shù)的過程。

到這時(shí)候，一個(gè)人已經(jīng)深刻地理解“數(shù)”是自然規(guī)律，對(duì)此已有堅(jiān)定的信念，宇宙觀已有悄然的改變，對(duì)于所遇到的問題會(huì)自覺地從“數(shù)”的角度考慮，而且明顯地比不識(shí)數(shù)時(shí)更“聰明”了，這種“聰明”完全是后天的。

認(rèn)識(shí)自然數(shù)的過程歸根結(jié)底是孩子自己完成的。如果孩子沒有興趣，即沒有認(rèn)識(shí)自然數(shù)的欲望，無(wú)論如何灌輸也不能使他識(shí)數(shù)。

因此，“理解+記憶”的模式，對(duì)于數(shù)學(xué)教育是不適用的。

遺憾的是，很多數(shù)學(xué)教育幾乎就是用技術(shù)教育或法規(guī)教育的方法，甚至將數(shù)學(xué)當(dāng)作教條。這樣的教育盡管可以使一個(gè)孩子學(xué)完所有的教程，如記數(shù)規(guī)定、運(yùn)算法則、多種應(yīng)用題型等等，而且通過達(dá)標(biāo)考試，卻仍然沒有使他“學(xué)懂”數(shù)學(xué)。

不時(shí)地會(huì)遇到一個(gè)家長(zhǎng)興奮地講自己的孩子的數(shù)學(xué)才能：很小就能認(rèn)識(shí)數(shù)字，4 歲就會(huì)做 1 萬(wàn)以內(nèi)的加減法，背九九表，參加什么速算比賽獲獎(jiǎng)，等等。然而，這很可能傷害了甚至毀掉了孩子學(xué)好數(shù)學(xué)的前途。

難免有人會(huì)反問：為什么一定要“學(xué)懂”數(shù)學(xué)呢？只要“會(huì)做”就可以通過考試了，達(dá)標(biāo)了，將來(lái)也就可以工作了。然而，現(xiàn)在人工智能發(fā)展得很快，不管多聰明的人，與人工智能比速算，做選擇題，甚至做套路題，都將完全不是對(duì)手。有很多人由此斷言人將被電腦淘汰。然而，懂得數(shù)學(xué)的人不會(huì)被淘汰，因?yàn)槿斯ぶ悄軣o(wú)論做得多快多好，仍是只會(huì)“做”而不“懂”數(shù)學(xué)。

怎樣才叫“懂”數(shù)學(xué)呢？這里舉一個(gè)例子。

我在中科院和首都師大經(jīng)常主持研究生面試，參加面試的都是筆試達(dá)標(biāo)的。我們從不問難題，一般是問你有什么學(xué)得好的（有自信的），我們就從其中問個(gè)簡(jiǎn)單問題看看考生是否學(xué)懂了。例如考生說群論學(xué)得好，就讓他舉個(gè)群的例子。這樣的“送分”題卻經(jīng)常有人答不上來(lái)。

哪怕只是初步學(xué)懂，也不至于連一個(gè)簡(jiǎn)單的例子都舉不出來(lái)呀。

同學(xué)們可以通過問自己這類簡(jiǎn)單的問題，來(lái)反思自己是否真的學(xué)懂了。

 7 數(shù)學(xué)素質(zhì)

在現(xiàn)代社會(huì)中，一個(gè)人一生中接受數(shù)學(xué)教育的時(shí)間是相當(dāng)長(zhǎng)的。

實(shí)際上，幼兒一般在很小的時(shí)候就開始接受數(shù)學(xué)教育。按我國(guó)現(xiàn)行的義務(wù)教育法，每個(gè)少年至少要上完初中，而接受數(shù)學(xué)教育也就要直到上完初中；很多地區(qū)已開始普及高中教育；而對(duì)于很多方面工作的需要，即使高中數(shù)學(xué)達(dá)標(biāo)都還不夠，至少需要用到微積分?？梢灶A(yù)料，我國(guó)公民一生中接受數(shù)學(xué)教育的平均時(shí)間，還會(huì)進(jìn)一步增加。沒有任何一個(gè)其他學(xué)科的教育時(shí)間有數(shù)學(xué)這樣長(zhǎng)。

雖然一個(gè)人需要學(xué)的數(shù)學(xué)這么多而且越來(lái)越難，但即使是一個(gè)小學(xué)生也可能有很好是數(shù)學(xué)素質(zhì)，而中學(xué)生中有很多可以達(dá)到相當(dāng)高的數(shù)學(xué)素質(zhì)。一個(gè)人的數(shù)學(xué)素質(zhì)的標(biāo)志不是數(shù)學(xué)知識(shí)的多少，而是數(shù)學(xué)理念的高度。

小學(xué)階段培養(yǎng)數(shù)學(xué)素質(zhì)的一個(gè)要點(diǎn)是可靠性。在做數(shù)學(xué)題的過程中，要求越來(lái)越嚴(yán)格，這是培養(yǎng)科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的第一步。如果一個(gè)小學(xué)生在解題過程中的錯(cuò)誤都能夠自己發(fā)現(xiàn)和改正，就是解題非常可靠，在這一點(diǎn)上數(shù)學(xué)素質(zhì)完全達(dá)標(biāo)了。

中學(xué)階段對(duì)于數(shù)學(xué)素質(zhì)有更多的要求，包括代數(shù)運(yùn)算能力、空間想象力、邏輯性等，更高的要求是獨(dú)立探索解決問題的能力。

數(shù)學(xué)素質(zhì)的提升主要是通過理念的提升來(lái)實(shí)現(xiàn)的。理念的提升，遠(yuǎn)比技巧的提高重要。在理念的提升過程中，概念越來(lái)越抽象。抽象概念常常是具體概念的推廣或提升。在教學(xué)中一個(gè)常見的誤區(qū)是，先講抽象概念，再應(yīng)用到具體情況，這樣符合邏輯次序，但對(duì)于學(xué)習(xí)可能并不合適，因?yàn)槿说恼J(rèn)識(shí)過程是從特殊到一般，從低到高，經(jīng)常是從具體到抽象，就是說抽象的概念需要通過大量具體的例子才能理解。

最后再指出一點(diǎn)：數(shù)學(xué)的教育特別需要“因材施教”，對(duì)于同一個(gè)問題，不同的人很可能需要大不相同的學(xué)習(xí)過程。例如很多數(shù)學(xué)習(xí)題是沒有“標(biāo)準(zhǔn)答案”的，特別是證明題，在好的情況下甚至可能沒有兩個(gè)學(xué)生的答案完全相同，需要教師分別讀懂和判斷。就這一方面看，數(shù)學(xué)教育是很不容易也很辛苦的。

參考文獻(xiàn)

[1] 姜樹生：談數(shù)學(xué)教育的特殊性 —— 兼談如何處理數(shù)學(xué)與教育學(xué)的關(guān)系. 數(shù)學(xué)通報(bào) 2008 年第 4 期

[2] 姜樹生：可怕的幼兒數(shù)學(xué)教育（2011）

[3] 姜樹生：李克強(qiáng)總理關(guān)于數(shù)學(xué)的發(fā)言與社會(huì)反響（2015.4.）

[4] 姜樹生：現(xiàn)行統(tǒng)編中學(xué)數(shù)學(xué)教科書有多爛（2016.11.）

[5] 李克正：緬懷和發(fā)揚(yáng)華羅庚先生對(duì)中國(guó)青少年數(shù)學(xué)人才培養(yǎng)的貢獻(xiàn)（2010.9.）

[6] 李克正：《數(shù)學(xué)的哲學(xué)意義》（首都師范大學(xué)講義 2011-2013）

[7] 李克正：關(guān)于初等幾何習(xí)題（2018.5.）

[8] 蓮溪：是誰(shuí)奪走了美國(guó)人的數(shù)學(xué)能力？——美國(guó)百年數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭(zhēng)演義

[9] 彭志祥等：《玩數(shù)學(xué)：小學(xué)數(shù)學(xué)課程整體轉(zhuǎn)型的研究》

[10] 其故：得數(shù)學(xué)者得天下（返樸公眾號(hào) 2019）

[11] 單墫：《數(shù)學(xué)競(jìng)賽史話》. 廣西教育出版社（1990）

[12] 《數(shù)學(xué)小叢書》 1-18. 科學(xué)出版社（2002）

1 華羅庚：從楊輝三角談起

2 段學(xué)復(fù)：對(duì)稱

3 華羅庚：從祖沖之的圓周率談起

4 吳文?。毫W(xué)在集合中的一些應(yīng)用

5 史濟(jì)懷：平均

6 閔嗣鶴：格點(diǎn)和面積

7 姜伯駒：一筆畫和郵遞路線問題

8 龔昇：從劉徽割圓談起

9 范會(huì)國(guó)：幾種類型的極值問題

10 華羅庚：從孫子的“神奇妙算”談起

11 蔡宗熹：等周問題

12 江澤涵：多面形的歐拉定理和閉曲面的拓?fù)浞诸?/span>

13 常庚哲、伍潤(rùn)生：復(fù)數(shù)與幾何

14 柯召、孫琦：?jiǎn)挝环謹(jǐn)?shù)

15 華羅庚：數(shù)學(xué)歸納法

16 華羅庚：談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題

17 虞言林、虞琪：祖沖之算π之謎

18 馮克勤：費(fèi)馬猜想

[13] 咸道：致家長(zhǎng)

[14] 嚴(yán)士健主編：《面向 21 世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)教育》. 江蘇教育出版社（1994）

[15] 尹裕：尋回美好的中學(xué)時(shí)代. 數(shù)學(xué)通報(bào) 2006 年第 1 期

[16] 尹裕：數(shù)學(xué)啟蒙教育之我見（2013）

[17] 張景中、王鵬遠(yuǎn)：《小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》

[18] 中國(guó)少年報(bào)社編：《華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽專輯》. 海燕出版社（1991）

作者簡(jiǎn)介

李克正

代數(shù)幾何學(xué)家，首都師范大學(xué)特聘教授。曾任中科院研究生院數(shù)學(xué)系主任，中科院數(shù)學(xué)委員會(huì)委員，中科院重要方向項(xiàng)目首席科學(xué)家，《 中學(xué)生數(shù)學(xué)》雜志主編，《小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》等報(bào)刊編委，北京市高考命題委員。