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題型一：整除

出題趨勢(shì)：純考整除特征不多，往往結(jié)合參數(shù)、余數(shù)考，要學(xué)會(huì)運(yùn)用整除3大特征變形分析。

例1.（23年夏科技營(yíng)T8）已知20xy23————是2023的倍數(shù),求x+y的值。

例2.（21年冬廣東營(yíng)T4）已知73abc6————?能被?56 整除(b<4),且a除40,61,810的余數(shù)相同,求所有滿足要求的6位數(shù).

例3.（22年夏廣東營(yíng)T11）請(qǐng)求出下列m的所有可能值，已知m是不大于2022的正整數(shù)，2022+m能整除2022m，求m值.??

例4.（22年夏廣西營(yíng)T6）abcde——除以abde——為整數(shù),求abcde——的值.

例5.(23年冬文化營(yíng)T12)計(jì)對(duì)于某些正整數(shù)，??不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，求n的最小值.

題型二：連續(xù)數(shù)

出題趨勢(shì)：連續(xù)數(shù)，主要出題2個(gè)方向：一是最值問(wèn)題分析；二是個(gè)數(shù)分析。

例6.(22年夏令營(yíng)T7)?任意m個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，若必有一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和是 6 的倍數(shù)，求m的最小值。

例7.把?2024?寫(xiě)成盡可能多非零連續(xù)自然數(shù)之和的形式，那么加數(shù)最多為多少個(gè)？?共有多少種不同的分拆方法？

例8.四個(gè)連續(xù)偶數(shù)乘積為?abcabc————,那么這四個(gè)偶數(shù)的和為多少？

例9.(21年冬廣州營(yíng)T12)?若一個(gè)正整數(shù)不能寫(xiě)成若干個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和，那么這個(gè)數(shù)稱為“孤獨(dú)數(shù)”，如4就是一個(gè)“孤獨(dú)數(shù)”，但6不是.那么小于2021的正整數(shù)有多少個(gè)“孤獨(dú)數(shù)”.

例10.(23年冬文化營(yíng)T16)?若干個(gè)連續(xù)正整數(shù)相加的和為?1000，這樣的正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)列有多少個(gè)？

題型三：求余數(shù)

出題趨勢(shì)：往往結(jié)合實(shí)際運(yùn)用、數(shù)列、階乘、余數(shù)、參數(shù)考，出題概率大，要重點(diǎn)掌握。

例11.（23年夏科技營(yíng)T6）今天是2023年2月25日，星期六，那么今天之后的第?（202325?+2）天是星期幾。

例12.(23年冬文化營(yíng)T11)12+34+56+78+910+……+9798+99100+101102 的結(jié)果除以8的余數(shù)是多少。

例13.（23年冬科技營(yíng)T12）求1!1?+2!2?+3!3?.......?+100!100 除以 2023 的余數(shù)多少.

例14.（21年T6）試計(jì)算：的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是多少.

例15.（22年冬令營(yíng)T8）若正整數(shù)n，滿足6066 除以 n(n+1) 所得的余數(shù)（最小非負(fù)剩余數(shù)）為3n，求n的值。

例16.（21年T4）令?其中[x]表示不超過(guò)x的最大的整數(shù)(如?那么將a， b， c三個(gè)數(shù)按從小到大的順序用“<”連接的結(jié)果。

題型四：多個(gè)余數(shù)的處理

出題趨勢(shì)：高頻考點(diǎn)，結(jié)合實(shí)際、最值、多種情況考，要掌握物不只數(shù)、余數(shù)處理等常見(jiàn)考法。

例17.（23年夏文化營(yíng)T2）小明參加少年宮音樂(lè)組，7月8日開(kāi)學(xué)，每4天上一次課；小萍參加少年宮美術(shù)組，7月9日開(kāi)學(xué)，每5天上一次課；小強(qiáng)參加少年宮棋藝組，7月10日開(kāi)學(xué)，每6天上一次課。那么，他們?nèi)耸状卧谕惶於既ド倌陮m上課的日期是???月???日.

例18.（22年冬廣西營(yíng)T8）一個(gè)正整數(shù)A，分別除以2、3、4、5、6都余1，除以7的余數(shù)為0，而除以8的余數(shù)卻是5，求A的最小值.

例19.（22年冬廣冬營(yíng)T5）設(shè)?A = 1234567891011……9596979899（A 是由1，2，3，…，98，99 按順序抄寫(xiě)一遍而得到的），記 A 分別被 15，9，8 除所得的余數(shù)（最小非負(fù)剩余數(shù)）分別為a，b，c,求?a+b+c的值.??????

例20.（22年冬廣西營(yíng)T7）若兩個(gè)三位數(shù)2ab—和1ba——(a、b為兩個(gè)數(shù)碼)被7除所得的余數(shù)都等于6，求a+b的值.

例21.（22年冬廣東營(yíng)T8）若正整數(shù)n，滿足6066除以n(n+1)所得的余數(shù)（最小非負(fù)剩余數(shù)）為3n，求n的值。

例22.（22年冬廣東營(yíng)T2）有一個(gè)正整數(shù)x，甲將其除以?8，乙將其除以 9．若甲所得的商數(shù)和乙所得的余數(shù)之和等于13，則甲所得的余數(shù)是多少。

題型五：求公約數(shù)

出題趨勢(shì)：高頻考點(diǎn)，重點(diǎn)考察：數(shù)學(xué)抽象與推理能力和規(guī)律尋找。

例23.（23年夏文化營(yíng)T4）正整數(shù)?m各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和與正整數(shù)n各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和的積是72。m和18的最小公倍數(shù)，n和18的最小公倍數(shù)都是720，那么 m，n和45這三個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是多少.

例24.（23年冬科技營(yíng)T9）(3N+4,5N +2)表示這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的可能值之和是多少。

例25.（22年冬令營(yíng)T7）若?10 個(gè)互不相同的正整數(shù)的和是 20220，則這 10 個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的最大值是多少.

例26.（22年冬令營(yíng)T3）三個(gè)數(shù)?4，16，28 都能被2整除，2是4，16，28的一個(gè)公因數(shù)，然而4是 4，16，28的最大公因數(shù)，把最大公因數(shù)記成4 = (4,16,28) ，一般地用d= (a，b，c)表示三個(gè)正整數(shù)（或非零整數(shù)）的最大公因數(shù)，現(xiàn)在設(shè) a是一個(gè)任意的正整數(shù)，d= (a，a+2021, 2a+ 2022) ，d的值是多少.

例27.（22年冬令營(yíng)T10）八位數(shù)20211202共有約數(shù)多少個(gè)．

例28.（19年冬令營(yíng)T7）一個(gè)自然數(shù)有?18?個(gè)約數(shù)，且這?18?個(gè)約數(shù)中，一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)各有?6?個(gè)，那么這個(gè)自然數(shù)是幾？

題型六：完全平方數(shù)

出題趨勢(shì)：大題與小題均屬于高頻考點(diǎn)，難度較大，重點(diǎn)考察完全平方數(shù)的公式、尾數(shù)分析、數(shù)學(xué)推理與分類討論。

例29.（22年冬廣西營(yíng)T4）已知兩個(gè)數(shù)的和為?8993，且這兩個(gè)數(shù)的積為20211202，那么，這兩個(gè)數(shù)差的平方是多少.

例30.（23年冬科技營(yíng)T5）龍教授靠著墻圍建一個(gè)籬笆，圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，三條籬笆長(zhǎng)度均為整數(shù)，且平方和為2022，則面積的最大值為多少.

例31.（22年夏令營(yíng)T3）紅星小學(xué)圍棋興趣小組有4位小朋友和2位教練，4位小朋友依次相差2歲，2位教練相差2歲，6個(gè)人年齡的平方和是2796歲，6個(gè)人年齡之和是多少歲.

例32.（21年T7）A，n為自然數(shù)，滿足A= (n?7)(n+8)，且A為完全平方數(shù)，那么n有多少種值；n的最小值是多少，n的最大值是多少.

例33.（22年夏令營(yíng)T18）設(shè)非零自然數(shù)a, b, c滿足方程a2+b2-c=2022.試求：

(1) a2+b2+c2的最小值；

(2)當(dāng)a2+b2+c2取得最小值時(shí)a, b, c的值.

例34.（22年冬廣西營(yíng)T15）2022是否能表示成三個(gè)質(zhì)數(shù)的平方和???

例35.（23年夏科技營(yíng)T18）

(1)能把1~2024這2024個(gè)自然數(shù)分成兩組，使每組數(shù)的平方和相等嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由。

(2)能把1~2026這2026個(gè)自然數(shù)分成兩組，使每組數(shù)的平方和相等嗎?并請(qǐng)明理由。

題型七：階乘與數(shù)論結(jié)合

出題趨勢(shì)：重點(diǎn)考察階乘的變形與分析。

例36.（23年夏科技營(yíng)T9）n!表示1~n這n個(gè)連續(xù)自然數(shù)之積.6!=1×2×3×4×5×6=720?,?20!=2432902008176640000,其中6!是10的倍數(shù),20!是104=10000的倍數(shù).已知2023!是10k的倍數(shù)，則k的最大值.

例37.（23年夏科技營(yíng)T12）設(shè)1!×2!×3!×……×99!×100!表示 100個(gè)階乘之積,刪去其中一個(gè)階乘,使剩下的99個(gè)階乘之積為完全平方數(shù).那么刪去的是哪個(gè)數(shù)的階乘。

題型八：位值的化簡(jiǎn)與分析

出題趨勢(shì)：高頻考點(diǎn)，基本考法：位值定理拆分化簡(jiǎn)，然后分類討論。

例38.（23年夏科技營(yíng)T4）4個(gè)四位數(shù)abbc——,bacb——,cbba——,abbc——的和為19998,a,b,c兩兩互質(zhì),則a+b+c的最小值為多少.

例39.（22年冬廣西營(yíng)T13）有abc——和cba——?兩個(gè)三位數(shù)，每個(gè)字母代表不同的數(shù)字，它們的比是5：6，求abc——是多少.

例40.（22年冬令營(yíng)T9）在正整數(shù)A的右端又多寫(xiě)了2個(gè)數(shù)字，所得數(shù)恰好等于由1到A的所有正整數(shù)的和，求A的值.

例41.（23年夏文化營(yíng)T11）十進(jìn)制數(shù):?20232025的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和記為A，A的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和為B，B的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和為C，求C的值。????

題型九：不定方程分析

出題趨勢(shì)：主要考查分類討論的嚴(yán)謹(jǐn)程度，主要結(jié)合現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景考察不定方程的運(yùn)用與分析。

例42.（22年夏廣西營(yíng)T7）10a+11b=1011,求a加b最小值.

例43.（23年夏科技營(yíng)T10）某平臺(tái)直播間銷(xiāo)售玩具飛機(jī)，規(guī)定：每位顧客最多可買(mǎi)3架，如果買(mǎi)1架需按原定價(jià)，買(mǎi)2架可降價(jià)8%，買(mǎi)3架可降價(jià)16%，現(xiàn)售出玩具飛機(jī)916架。出售給433位顧客，最后結(jié)算發(fā)現(xiàn)：平均每架玩具飛機(jī)售價(jià)恰好是原定價(jià)的88%，那么購(gòu)買(mǎi)3架玩具飛機(jī)的顧客有多少人。

例44.（23年夏科技營(yíng)T1）甲、乙二人代表學(xué)校參加市象棋比賽，規(guī)定：任何兩個(gè)選手都要賽一盤(pán)，勝者積2分，負(fù)者積0分，平局積1分。甲、乙二人共積 10分，其他人積分均相同。那么，參賽的選手最多有_人。

題型十：質(zhì)數(shù)與合數(shù)

出題趨勢(shì):單獨(dú)考數(shù)字2和余數(shù)系的概率不大，結(jié)合計(jì)數(shù)考的概率還大一點(diǎn)。

例45.（19年冬令營(yíng)T5）如果質(zhì)數(shù)p和q使得p2=2q2+1,那么(p2+q3)3的值為多少.

例46.（20年夏令營(yíng)T6）已知p為100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，滿足p3+7p2為完全平方數(shù)，這樣的p有多少個(gè).

例47.已知，，，，都是質(zhì)數(shù)，那么n為多少。

題型十一：高斯方程

出題趨勢(shì)：主要考察高斯取整的取值范圍和方程，難度較大

例48.（19年夏令營(yíng)T7）設(shè)x是實(shí)數(shù)，用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，記{x}=x-[x].

求?值.

例49.在中共出現(xiàn)多少個(gè)互不相同的數(shù)？

例50.（23年冬科技營(yíng)T13）求[3x+1]=2x+的所有解的和。

例51.解方程其中x是整數(shù)。

例52.(23年冬文化營(yíng)T13)計(jì)設(shè)[n]表示不超過(guò)n的最大整數(shù)，例如[4.8]=4?。已知：若0x，[x[x]]有a1?種結(jié)果，若0x，[x[x]]有a2?種結(jié)果；..........,若0x，[x[x]]有an?種結(jié)果，求的最小值是多少。

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