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《幾何原本》第五公設(shè)有關(guān)命題簡(jiǎn)介

作者：劉瑞祥

作品編號(hào)：002

投稿時(shí)間：2020.4.30

一

《幾何原本》中的第五公設(shè)，一直是《幾何原本》研究的中心問(wèn)題，直到"非歐幾何"創(chuàng)立以后才獲得解決。本文不是回顧有關(guān)歷史的，而是通過(guò)總結(jié)有關(guān)問(wèn)題來(lái)梳理一下《幾何原本》里這個(gè)公設(shè)的地位。不過(guò)本人僅是普通的數(shù)學(xué)愛好者，錯(cuò)謬之處在所難免，敬請(qǐng)讀者指正。

《幾何原本》中的第五公設(shè)，原文如下：同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角之和小于二直角的，則這兩條直線經(jīng)無(wú)限延長(zhǎng)后在這一側(cè)一定相交。這一表達(dá)相當(dāng)復(fù)雜，現(xiàn)代數(shù)學(xué)往往以"過(guò)直線外一點(diǎn)（最多）只能作一條平行線"代替第五公設(shè)；在《幾何原本》中，與第五公設(shè)相關(guān)的部分命題如下：

平行線的性質(zhì)命題、傳遞性、唯一性命題

【I.29】 一直線和兩條平行直線相交，所成的內(nèi)錯(cuò)角相等，同位角相等，且同旁內(nèi)角的和等于二直角。

【I.30】 一些直線平行于同一條直線，則它們也互相平行。

【XI.9】 兩條直線平行于和它們不共面的同一直線時(shí)，這兩條直線平行。

三角形及多邊形的內(nèi)角和、外角和命題

【I.32】 在任意三角形中，如果延長(zhǎng)一邊，則外角等于二內(nèi)對(duì)角的和，而且三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于二直角。

勾股定理及逆定理、余弦定理

【I.47】 在直角三角形中，直角所對(duì)的邊上的正方形等于夾直角兩邊上正方形的和。

【I.48】 如果在一個(gè)三角形中，一邊上的正方形等于整個(gè)三角形另外兩邊上正方形的和，則夾在后兩邊之間的角是直角。

【II.12】 在鈍角三角形中，鈍角所對(duì)的邊上的正方形比夾鈍角的二邊上的正方形的和還大一個(gè)矩形的二倍。即由一銳角向?qū)叺难娱L(zhǎng)線作垂線，垂足到鈍角之間一段與另一邊所構(gòu)成的矩形。

【II.13】 在銳角三角形中，銳角對(duì)邊上的正方形比夾銳角二邊上正方形的和小一個(gè)矩形的二倍。即由另一銳角向?qū)呑鞔怪本€，垂足到原銳角頂點(diǎn)之間一段與該邊所構(gòu)成的矩形。

平行線截線段成比例及三角形相似命題

【VI.2】 如果一條直線平行于三角形的一邊，則它截三角形的兩邊成比例線段；又，如果三角形的兩邊被截成比例線段，則截點(diǎn)的連線平行于三角形的另一邊。

【VI.4】 在兩個(gè)三角形中，如果各角對(duì)應(yīng)相等，則夾等角的邊成比例，其中等角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊。

【VI.5】 如果兩個(gè)三角形它們的邊成比例，則它們的角是相等的，即對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角相等。

【VI.6】 如果兩個(gè)三角形有一個(gè)的一個(gè)角等于另一個(gè)的一個(gè)角，且夾這兩角的邊成比例。則這兩個(gè)三角形是等角的，且這些等角是對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角。

【VI.7】 如果在兩個(gè)三角形中，有一個(gè)的一個(gè)角等于另一個(gè)的一個(gè)角，夾另外兩個(gè)角的邊成比例，其余的那兩個(gè)角都小于或者都不小于直角。則這兩個(gè)三角形的各角相等，即成比例的邊所夾的角也相等。

【XI.17】 如果兩直線被平行平面所截，則截得的線段有相同的比。

建立在平行、比例基礎(chǔ)上的面積、體積命題

【I.35】 在同底上且在相同兩平行線之間的平行四邊形彼此相等。

【I.41】 如果一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形既同底又在二平行線之間，則平行四邊形是這個(gè)三角形的二倍。

【VI.1】 等高的三角形或平行四邊形，它們彼此相比如同它們的底的比。

【VI.14】 在相等且等角的平行四邊形中，夾等角的邊成互逆比例；在等角平行四邊形中，若夾等角的邊成互反比例，則它們相等。

【VI.16】 如果四條線段成比例，則兩外項(xiàng)構(gòu)成的矩形等于兩內(nèi)項(xiàng)構(gòu)成的矩形；并且如果兩外項(xiàng)構(gòu)成的矩形等于兩內(nèi)項(xiàng)構(gòu)成的矩形，則四條線段成比例。

【VI.19】 相似三角形互比如同其對(duì)應(yīng)邊的二次比。

【XII.1】 圓內(nèi)接相似多邊形之比如同圓直徑上正方形之比。

【XII.5】 以三角形為底且具有等高的兩個(gè)棱錐的比如同兩底的比。

【XII.8】 以三角形為底的相似棱錐的比如同它們對(duì)應(yīng)邊的三次比。

圓冪定理及逆定理

【III.35】 如果在一個(gè)圓內(nèi)有兩條相交的弦，把其中一條分成兩段使其構(gòu)成的矩形等于另一條分成兩段構(gòu)成的矩形。

【III.36】 如果在一個(gè)圓外取一點(diǎn)，且由它向圓作兩條直線，其中一條與圓相截而另一條相切，則由圓截得的整個(gè)線段與圓外定點(diǎn)和凸弧之間一段構(gòu)成的矩形，等于切線上的正方形。

【III.37】 如果在圓外取一點(diǎn)，并且由這點(diǎn)向圓引兩條直線，其中一條與圓相截，而另一條落在圓上。假如由截圓的這條線段的全部和這條直線上由定點(diǎn)與凸弧之間圓外一段構(gòu)成的矩形等于落在圓上的線段上的正方形，則落在圓上的直線切于此圓。

正多面體相關(guān)命題

【XIII.13】 在已知球內(nèi)作內(nèi)接棱錐，并且證明球直徑上的正方形是棱錐一邊上正方形的一倍半。

【XIII.14】 像前面的情況一樣，作一個(gè)球的內(nèi)接八面體；再證明球直徑上的正方形是八面體一邊上正方形的二倍。

【XIII.15】 像作棱錐一樣，求作一個(gè)球的內(nèi)接立方體；并且證明球直徑上的正方形是立方體一邊上正方形的三倍。

【XIII.16】 與前面一樣，作一個(gè)球的內(nèi)接二十面體；并且證明這二十面體的邊是稱為次線的無(wú)理線段。

【XIII.17】 與前面一樣，作一個(gè)球的內(nèi)接十二面體；并且證明這十二面體的邊是稱為余線的無(wú)理線段。

其它命題

【IV.5】 求作已知三角形的外接圓。

【XI.21】 構(gòu)成一個(gè)立體角的所有平面角的和小于四直角。

幾點(diǎn)說(shuō)明：

1、【I.29】表示第一卷第29命題，后同；

2、由于歷史原因，其中有一些名詞不太好懂，比如【XIII.17】（第十三卷命題17）中的"余線"，請(qǐng)參閱《幾何原本》中文版；

3、《幾何原本》中幾乎所有比較"復(fù)雜"的命題都和第五公設(shè)有關(guān)，上表并未全部列出。

二

下面針對(duì)其中幾個(gè)命題作一介紹：

I.32------三角形內(nèi)角和定理

這是一個(gè)應(yīng)用第五公設(shè)的重要定理，證明是簡(jiǎn)單的。關(guān)于這個(gè)命題還有下面一個(gè)貌似沒有用到第五公設(shè)的證明：

這一"證明"見于《初等幾何研究》（胡杞、周春國(guó)著，北京師范大學(xué)出版社1989年版），原著中是供學(xué)習(xí)者分析的。這里最關(guān)鍵的是用到三角形ABD和ACD內(nèi)角和相等，而這是沒有依據(jù)的。也可以這樣說(shuō)，"所有三角形內(nèi)角和都相等"和第五公設(shè)等價(jià)。（在阿基米德公理成立的前提下）

IV.5------求作已知三角形的外接圓

這個(gè)命題的作法和證明都很簡(jiǎn)單，這里要說(shuō)明的是其證明過(guò)程中似乎沒有用到第五公設(shè)，那為什么要把這個(gè)命題也列在其中呢？

這里假設(shè)了這樣一個(gè)前提：AB和AC邊的中垂線一定能相交于一點(diǎn)。而如果第五公設(shè)不成立的話，兩條相交線的垂線不一定相交，即此時(shí)并非所有三角形都有外接圓。

這個(gè)命題給我們一個(gè)啟發(fā)------第五公設(shè)有時(shí)會(huì)隱藏得相當(dāng)深，因此，我們?cè)诜治鲆粋€(gè)命題所依賴的公理時(shí)要非常小心。

XI.21------構(gòu)成一個(gè)立體角的所有平面角的和小于四直角

這個(gè)命題的直觀形象是，將一個(gè)棱錐的側(cè)面沿著側(cè)棱剪開后鋪成平面，不會(huì)鋪成一周，總會(huì)留有空隙?！稁缀卧尽吩谧C明這個(gè)命題時(shí)用到了三角形內(nèi)角和定理，從而間接地用到了平行公設(shè)。

法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪所著的教科書《立體幾何》（朱德祥譯，上海科學(xué)技術(shù)出版社1966年版）給出了下面的證明方法：

這里看上去只用到了"由三個(gè)平面構(gòu)成的立體角，任意兩個(gè)平面角之和大于第三個(gè)平面角"。到底是這個(gè)證明根本就不需要第五公設(shè)還是僅僅是沒有"顯式"地用第五公設(shè)？筆者抱有相當(dāng)?shù)囊蓡?wèn)。

三

我一向認(rèn)為，只有從正反兩個(gè)方面來(lái)看問(wèn)題，才能獲得對(duì)問(wèn)題的正確認(rèn)識(shí)，所以這里給大家總結(jié)一下沒有用到第五公設(shè)的命題。如同前面所說(shuō)的一樣，這里也沒有列出全部命題。

平行線存在命題、判定命題

【I.27】 如果一直線和兩直線相交所成的錯(cuò)角彼此相等，則這二直線互相平行。

【I.28】 如果一直線和兩直線相交所成的同位角相等，或者同旁內(nèi)角的和等于二直角，則這二直線互相平行。

【I.31】 過(guò)一已知點(diǎn)作一直線平行于已知直線。

三角形全等命題

【I.4】 如果兩個(gè)三角形中，一個(gè)的兩邊分別等于另一個(gè)的兩邊，而且這些相等的線段所夾的角相等，那么，它們的底邊等于底邊，三角形全等于三角形，這樣其余的角也等于相應(yīng)的角，即那些等邊所對(duì)的角。

【I.8】 如果兩個(gè)三角形的一個(gè)有兩邊分別等于另一個(gè)的兩邊，并且一個(gè)的底等于另一個(gè)的底，則夾在等邊中間的角也相等。

【I.26】 如果在兩個(gè)三角形中，一個(gè)的兩個(gè)角分別等于另一個(gè)的兩個(gè)角，而且一邊等于另一個(gè)的一邊，即或者這邊是等角的夾邊，或者是等角的對(duì)邊，則它們的其它的邊也等于其它的邊，且其它的角也等于其它的角。

不等式命題

【I.16】 在任意三角形中，若延長(zhǎng)一邊，則外角大于任意一個(gè)內(nèi)對(duì)角。

【I.17】 在任何三角形中，任意兩角之和小于兩直角。

【I.20】 在任何三角形中，任意兩邊之和大于第三邊。

其它一些簡(jiǎn)單命題

【I.5】 在等腰三角形中，兩底角彼此相等，并且若向下延長(zhǎng)兩腰，則在底以下的兩個(gè)角也彼此相等。

【I.9】 二等分一個(gè)已知直線角。

【I.15】 如果兩直線相交，則它們交成的對(duì)頂角相等。

【III.17】 由已知點(diǎn)作直線切于已知圓。

下面主要說(shuō)明其中的兩個(gè)命題：

一是【I.31】，即平行線的作法，這已經(jīng)是【I.29】后面的命題了，所以所謂"第一卷從【I.29】開始的命題都和第五公設(shè)有關(guān)"的說(shuō)法是不正確的。

另外一個(gè)是【III.17】------從圓外一點(diǎn)作切線，《幾何原本》里是這樣作的：

這里就不列出原書中的證明了。

現(xiàn)行中學(xué)教材里，如果給了圓外一點(diǎn)A和圓心B，則連接AB，然后以線段AB的中點(diǎn)C為圓心、AB長(zhǎng)度一半為半徑作圓，與已知圓交于D、E兩點(diǎn)，直線AD、AE即為所作切線。

但這需要一個(gè)前提------直徑所對(duì)的圓周角為直角，從而要間接用到第五公設(shè)。（注意："切線與過(guò)切線點(diǎn)的半徑垂直"這一點(diǎn)，無(wú)須第五公設(shè)）

筆者選擇這個(gè)命題還有一個(gè)考慮，那就是以這個(gè)命題來(lái)表明在第一卷以后還有一些和第五公設(shè)無(wú)關(guān)的命題，而事實(shí)上第三卷的【III.1】~【III.20】和第十一卷（自此《幾何原本》轉(zhuǎn)入立體幾何部分）的【XI.1】~【XI.8】都和第五公設(shè)無(wú)關(guān)。當(dāng)然，第五卷比例論、第七至第九卷數(shù)論、第十卷不可公度量亦與第五公設(shè)無(wú)關(guān)，這是毋庸多言的（第十卷用到了面積，但本質(zhì)是數(shù)的乘法）。