我們來看幾個(gè)難一點(diǎn)的截長補(bǔ)短。

如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的角平分線，M為BC重點(diǎn)，MF∥AD于AC于F。求證：2AF=AC-AB。

仿照之前的例子，我們還是先把式子進(jìn)行一下改寫，得到AC-AF=AB+AF，這樣寫的好處是什么呢？

因?yàn)锳C-AF=FC，這是一條現(xiàn)成的線段，并且把AF前面的系數(shù)2去掉了，看著就比較神清氣爽了。接下來就是處理AB+AF了，我們可以延長BA，也可以延長AB，應(yīng)該往哪個(gè)方向延長呢？

假設(shè)我們延長AB至E，使得BE=AF，那么這時(shí)候我們的目標(biāo)就是證明AE=FC。這時(shí)候，我們看起來要證明△AED全等于△FCM，然后就沒有然后了——AD顯然比FM長，所以這兩個(gè)三角形不可能全等。

此時(shí)有兩種可能，一是找錯(cuò)了全等三角形，二是這條路很可能是錯(cuò)的，該怎么選擇？

如果堅(jiān)持是找錯(cuò)了全等三角形，那么我們嘗試換一組，然而其他看起來的靠譜的三角形似乎沒了，所以這時(shí)候我們想，會(huì)不會(huì)這條路錯(cuò)了？

我們延長BA到E，使得AE=AF，看起來就很舒服——因?yàn)椤鰽EF是等腰三角形，所以∠E=∠AFE，然后由于MF∥AD，所以∠BAD=∠AEF。。。等等，有沒有發(fā)現(xiàn)什么不對(duì)的地方？

沒錯(cuò)，E，F(xiàn)，M三點(diǎn)是否共線？！

從圖上看，三點(diǎn)一定共線，但是我們直接連EF并不能直接得到這個(gè)結(jié)論！

在競(jìng)賽中，三點(diǎn)共線或者三線共點(diǎn)是常規(guī)題，然而在升學(xué)中，這個(gè)就。。。太難了。不過可以肯定的是，這個(gè)方向一定是對(duì)的，只是我們要想辦法去規(guī)避這三點(diǎn)共線。

既然三點(diǎn)共線是難點(diǎn)，我們就先讓三點(diǎn)共線，直接延長MF交BA的延長線于E，這樣可以么？這樣操作之后，AD∥FM就可以很好地用起來了，∠BAD=∠E，而∠AFE=∠MFC=∠DAC，可以推出∠E=∠AFE，于是AE=AF，把之前的難點(diǎn)巧妙地繞了過去。

讓我們擦擦腦門上的汗，繼續(xù)前進(jìn)吧！

下一個(gè)問題是：哪來的全等三角形包含BE和CF呢？△BEM和△CFM全等？開什么玩笑，這絕對(duì)不可能??！又一次陷入了僵局。

我們之所以不否定這條路，是因?yàn)橄氩坏降谌龡l路么？非也非也，而是在探索過程中出現(xiàn)了等腰三角形這樣的強(qiáng)條件，這往往是一個(gè)積極的信號(hào)，表明你很大概率走在一條正確的道路上。所以我們現(xiàn)在要做的就是破局。

再仔細(xì)地讀題，角平分線和平行都用過了，中點(diǎn)！中點(diǎn)還沒有用！

很自然地把FM延長一倍到G點(diǎn)，這樣就出來一對(duì)全等三角形：△BGM和△CFM。于是FC=BG，下一個(gè)問題自然是：BG=BE么？

當(dāng)然等于，因?yàn)槿鹊年P(guān)系，∠G=∠MFC=∠E，所以BE=BG，命題成立。

這道題目的截長補(bǔ)短和我們之前的有些不一樣——因?yàn)橹苯友a(bǔ)短之后出現(xiàn)的問題很難解決，所以我們套了一圈，利用其它的辦法來達(dá)到補(bǔ)短后的效果。像這種題目，難就難在需要有截長補(bǔ)短的思想做指導(dǎo)，但是又不拘泥于這個(gè)方法。至于后面的倍長FM屬于常規(guī)操作，并不是特別的難想。

都是輔助線，但是難度可是大不一樣哦~~