第 496 期回顧

如圖,已知菱形 ABCD 的邊長為 6,有一內(nèi)角為 60°,M 為 CD 邊上的中點(diǎn),P 為對角線 AC 上的動(dòng)點(diǎn),則 PD+PM 的最小值為______.

分析:由于菱形的一內(nèi)角為 60°,

可假設(shè) ∠DCB=∠DAB=60°,

則 ∠ADC=∠ABC=120°,

連接 BD、BM 由菱形的性質(zhì)可知,AC 是 BD 的垂直平分線,即點(diǎn) B 是點(diǎn) D 關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn),故 BM 即為 PD+PM 的最小值,再由等邊三角形的判定定理可得出 △BDC 是等邊三角形,由等邊三角形的性質(zhì)即可求出 BM 的長.

解:∵菱形 ABCD 的一內(nèi)角為 60°,

∴設(shè) ∠DCB=∠DAB=60°,

則 ∠ADC=∠ABC=120°,

連接 BD、BM,則 AC 是 BD 的垂直平分線,

即點(diǎn) B 是點(diǎn) D 關(guān)于直線 AC 的對稱點(diǎn),

∴BM 即為 PD+PM 的最小值,

∵四邊形 ABCD 是菱形,

∠ADC=∠ABC=120°,

∴∠BDC=∠DBC=60°,

∴△BCD 是等邊三角形,

∵M(jìn) 為 CD 邊上的中點(diǎn),

∴BM⊥DC,

∵DC=BC=6,

∴CM=DC/2=1/2×6=3,

在 Rt△BMC 中,

BM=√(BC2-CM2)

=√(62-32)=3√3.

答案為:3√3.

本題考查的是軸對稱-最短路線問題及菱形的性質(zhì),根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

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