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中考：最短路徑A2

一定直線,

同側(cè)兩點(diǎn)

定勢思維

求最短找對稱

兩點(diǎn)之間

線段最短

垂線段最短

先看練習(xí)

1.如圖,在圓柱形的桶外,有一只螞蟻要從桶外的A點(diǎn)爬到桶內(nèi)的B點(diǎn)去尋找食物,已知A點(diǎn)沿母線到桶口C點(diǎn)的距離是12厘米,B點(diǎn)沿母線到桶口D點(diǎn)的距離是8厘米,而C、D兩點(diǎn)之間的(桶口)弧長是15厘米.如果螞蟻爬行的是最短路線,應(yīng)該怎么走?路程總長是多少?

25厘米（點(diǎn)鏈接有詳解）

2.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,AB=8,AD平分∠BAC,點(diǎn)P,Q分別是AB、AD邊上的動點(diǎn),則PQ+BQ的最小值是(  )

A.4    B.5    C.6    D.7

A.4(點(diǎn)鏈接有詳解)

一定點(diǎn),兩定直線

5

基本模型:

如圖,P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn),分別在OA,OB上求作點(diǎn)Q,R,使得PQ+PR+QR(即△PQR的周長)最小.

解決方法:分別作點(diǎn)P關(guān)于直線OA,OB的對稱點(diǎn)P',P″,連接P'P″,與OA,OB的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)Q,R,此時(shí)PQ+PR+QR(即△PQR的周長)最小.

6

如圖:點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn), 

OP=5 cm,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動點(diǎn).若△PMN周長的最小值是5 cm,則∠AOB的度數(shù)是(  ).

A.25° 

B.30° 

C.35°

D.40°

答案為B.

解析:由題意知道點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一個(gè)相對的定點(diǎn),點(diǎn)動成線定線射線OA和射線OB,作點(diǎn)P關(guān)于射線OA和射線OB的對稱點(diǎn)點(diǎn)C和點(diǎn)D,連接CD交射線OA和射線OB與M點(diǎn)和N點(diǎn), 此時(shí)△PMN周長的最小值是5 cm.

由軸對稱的性質(zhì)可知,OP=OD=OC=5 cm,△PMN周長的最小值是5 cm,即PM+PN+MN=CM+DN+MN=CD=5 cm,所以三角形COD是等邊三角形,

∠COD=60°,又因?yàn)椤螩OA=∠POA, ∠DOB=∠POB,所以∠AOB=∠COD/2=30°.

7

如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E,F分別在AB,AC,BC上,試求作周長最小的△DEF.

解:如圖,將D視為定點(diǎn),分別作出點(diǎn)D關(guān)于AC,BC的對稱點(diǎn)D',D″,連接D'D″,分別交AC,BC于點(diǎn)E,F,

此時(shí)△DEF的周長等于D'D″長.無論點(diǎn)D的位置如何變化,點(diǎn)C對線段D'D″的張角不變,即∠D'CD″=2∠ACB.

因此,為使D'D″最小,只需CD'=CD″=CD的值最小即可,顯然,當(dāng)CD⊥AB時(shí), CD最小,從而△DEF的周長最小.

最短路徑A

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