點(diǎn)擊領(lǐng)取>>>1-6年級(jí)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解、講義及奧數(shù)競(jìng)賽真題、初高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽真題

中考：最短路徑A

最值問題

一定條件下

平面圖形中

某個(gè)確定的量

線段長(zhǎng)度

角度大小

圖形面積等

最大最小值

基本方法有

特殊位置法

極端位置法

幾何定理法

數(shù)形結(jié)合法

一定直線,同側(cè)兩點(diǎn)

1

如圖,⊙O的半徑為1,點(diǎn)A是半圓 (弧MAN)上的一個(gè)三等分點(diǎn),點(diǎn)B是弧AN的中點(diǎn),P是直徑MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PA+PB的最小值______.

答案√2.

解析：作點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱的點(diǎn)A′,連接A′B,

交MN的點(diǎn)P就是我們要找的點(diǎn).

易得PA+PB的最小值為A′B的長(zhǎng).

連接OA′,AA′

點(diǎn)B是弧AN的中點(diǎn)可得

∠BON=30°,∠A′OB=90°.

在等腰直角三角形A′OB中,

OA′=OB=1,從而求得.

2

拋物線y=x2+2x-3與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上任意一點(diǎn).若點(diǎn)D,E,F分別是BC,BP,PC的中點(diǎn),連接DE,DF,則DE+DF的最小值為____.  

答案3√2/2

解析：如果D,E,F分別是BC,BP,PC的中點(diǎn),

則DE,DF是三角形PBC的中位線,

DE=PC/2,DF=PB/2,

則DE+DF=(PC+PB)/2,

故本題轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值.

3

如圖,∠BAC=30°,M為AC上一點(diǎn), 

AM=2,點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn),

PQ⊥AC,垂足為點(diǎn)Q,

則PM+PQ的最小值為_____. 

答案為√3.

解析：如圖,做M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N,則NP=MP,

PM+PQ=PN+PQ,

當(dāng)NQ⊥AC時(shí),

PM+PQ取最小值.

易得∠N=∠BAC=30°,

MD=AM/2=1

所以MN=2,

NQ=MNcosN=2×√3/2=√3.

4

在菱形ABCD中,

AB=2, ∠A=120°, 

點(diǎn)P,Q,K分別為線段BC,CD,BD上的任意一點(diǎn),

則PK+QK的最小值為______. 

答案為√3.

解析：三個(gè)點(diǎn)都是動(dòng)點(diǎn)

這是點(diǎn)K動(dòng)成線BD,且P,Q兩動(dòng)點(diǎn)都在直線BD的同側(cè)(轉(zhuǎn)化為一條小河兩個(gè)村莊的問題),兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)假設(shè)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P不動(dòng),作點(diǎn)P關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)P'

(四邊形ABCD是菱形,是軸對(duì)稱圖形.則點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)P'一定在邊AB上,點(diǎn)P在邊BC上的動(dòng)點(diǎn)無論怎樣動(dòng)它的對(duì)稱點(diǎn)一定落到邊AB上),

點(diǎn)Q在邊CD上從而把問題轉(zhuǎn)化為平行線間的距離PK+QK的最小值為P'Q=AE,

在Rt⊿ADE中AD=AB=2, 

∠ADC=180°-∠A=60°,

所以AE=√3.

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