模塊：數(shù)論問題

難度：五星題

解題適用年級：五年級以上

來源：小禾杯復(fù)賽

題目： 使得1²，2²，…，n²的平均值是一個平方數(shù)的大于1的最小的正整數(shù)n等于______．

請先自行思考解答。思考時間：20分鐘。

如果你是家長，可以把題目抄寫給小朋友，讓孩子自行思考。

◆  ◆  ◆

思考1：

由題意知

之后的過程就是對上面式子的討論了~

怎么討論呢？

式子中右邊有6（2×3），結(jié)合完全平方數(shù)的性質(zhì)

考慮左邊質(zhì)因數(shù)2和3的分布是一個不錯的想法

2?（2n+1），所以2∣n+1，得n是奇數(shù)

那么3呢，在兩邊除以6時，質(zhì)因數(shù)3在哪個數(shù)中約了

（n+1）與（2n+1）能同時有3嗎？

這個就可考慮兩者間的關(guān)系了

這兩個數(shù)是互質(zhì)的，理由可用輾轉(zhuǎn)相減法證最大公因數(shù)是1

（n+1，2n+1）=（n，n+1）=（1，n）=1

這個時候就有兩者情況：

①3∣（n+1），3?（2n+1）

②3∣（2n+1），3?（n+1）

逐一考慮吧

①當(dāng)3∣（n+1）時，就是（n+1）/6與（2n+1）互質(zhì)，且乘積是完平

那么它們分別都是完平

（n+1）/6=a²,（2n+1）=b²

有沒有可能呢，這個時候就要從完平的一些性質(zhì)來分析了

b²=2n+1，奇數(shù)完平，可以考慮除以4的余數(shù)

因為n是奇數(shù)，所以2n+1除以4余3，但完平除以4只能余0或1

所以矛盾

②3∣2n+1，3?n+1

題目就轉(zhuǎn)化為（n+1）/2=a²,（2n+1）/3=b²，找到n>1的最小值

思考2：

如果沒有更好的辦法，可以用n是奇數(shù)，這個條件，限制出b²是一個奇數(shù)，用奇完平從小到大枚舉也是可以完成的。

但這里不妨再對這兩個完平做更細致的討論

比如a²與b²的關(guān)系式可以先整理出來

4a²=3b²+1

再考慮a²與b²的限制

比如是否含2或3這類

這里給一個方向：

a²是否還含有質(zhì)因數(shù)2

若a²含有2

矛盾

所以a²不含有2，a²除以4只能余1，

4a²就是一個除以16余4的數(shù)

即：

用這個限制從小到大去驗證，當(dāng)b=15時，a=13，等式成立。

此時n=337

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