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最近總有孩子問老師什么是容斥原理

張娟老師今天就和大家一起來(lái)

探索有關(guān)容斥原理的知識(shí)

容斥原理

在利用加法原理進(jìn)行分類計(jì)數(shù)時(shí)，需要做到“不重復(fù)、不遺漏”．具體來(lái)說(shuō)，就是讓劃分出的每一類的范圍都不會(huì)重疊，而且能涵蓋所有的可能情況．然而，要進(jìn)行滿足要求的分類，有時(shí)會(huì)比較麻煩．這時(shí)，可以先降低要求，保證“不遺漏”，將每一類的個(gè)數(shù)相加，最后只需排除掉重復(fù)的部分即可．這就是利用容斥原理來(lái)進(jìn)行計(jì)數(shù)的主要思路．

容斥原理-解題公式

有兩類對(duì)象A和B，如圖所示，         

                                        

全體對(duì)象的個(gè)數(shù)：A+B-AB

有三類對(duì)象A、B、C，如圖所示，

                                      

全體對(duì)象的個(gè)數(shù)：A+B+C-AB-AC-BC+ABC

例題精煉

1． 在全班55名同學(xué)中，有47人會(huì)騎自行車，21人會(huì)滑旱冰，16人兩樣都會(huì)．請(qǐng)求出以下四類同學(xué)各有多少人：(1)會(huì)騎自行車，但不會(huì)滑旱冰；(2)會(huì)其中一樣；(3)會(huì)騎自行車，或者會(huì)滑旱冰；(4)兩樣都不會(huì)．

解：(1)31人；(2)36人；(3)52人；(4)3人．

2． 在1~100中，下列三類數(shù)各有多少個(gè)：(1)既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)；(2)是3的倍數(shù)，但不是2的倍數(shù)；(3)是2的倍數(shù)，或者是3的倍數(shù)；(4)既不是2的倍數(shù)，也不是3的倍數(shù)．

解：(1)16個(gè)；(2)17個(gè)；(3)67個(gè)；(4)33個(gè)．

3． 100名同學(xué)面向老師站成一排，從左往右由1開始依次報(bào)數(shù)．先讓報(bào)偶數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，再讓報(bào)3的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)．那么，這時(shí)仍然面向老師的同學(xué)有多少人？

解：仍然面向老師的同學(xué)是沒轉(zhuǎn)和轉(zhuǎn)了兩次的同學(xué)，即編號(hào)既不是偶數(shù)也不是3的倍數(shù)和編號(hào)是6的倍數(shù)的同學(xué)，有49人．

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