繁分?jǐn)?shù)(complex fraction)是一類特殊的分?jǐn)?shù)，其分?jǐn)?shù)形式中，分子或分母含有四則運算或分?jǐn)?shù)，或分子與分母都含有四則運算或分?jǐn)?shù)的數(shù)。

繁分?jǐn)?shù)可以化成簡分?jǐn)?shù)表示。簡分?jǐn)?shù)(simple fraction)是分子和分母均為整數(shù)的分?jǐn)?shù)，即在分?jǐn)?shù)形式中，分子與分母都不含有四則運算且都不含分?jǐn)?shù)的數(shù)。

本期我們講解繁分?jǐn)?shù)的化簡需要注意的事項。

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難易指數(shù)：★★★★

適宜對象：小學(xué)培優(yōu)

本期編號：D00063

關(guān)鍵詞：繁分?jǐn)?shù)、簡分?jǐn)?shù)

繁分?jǐn)?shù)與連分?jǐn)?shù)

（一）定義

1、繁分?jǐn)?shù)是數(shù)，而不是除法式子，一個有意義的除法算式應(yīng)包括定義范圍內(nèi)的被除數(shù)、除數(shù)和除號，它是一種運算表達(dá)形式。只有通過運算后，才能得出一個商數(shù)來，所以除法算式和一個數(shù)是兩回事。

2、如分?jǐn)?shù)形式，分子或分母含有分?jǐn)?shù)，或分子與分母都含有分?jǐn)?shù)的數(shù)，叫做繁分?jǐn)?shù)。在一個繁分?jǐn)?shù)里，最長的分?jǐn)?shù)線叫做繁分?jǐn)?shù)的主分?jǐn)?shù)線，主分?jǐn)?shù)線上下不管有多少個數(shù)或運算，都把它們分別看作是繁分?jǐn)?shù)的分子和分母。

（二）化簡繁分?jǐn)?shù)

把繁分?jǐn)?shù)化為最簡分?jǐn)?shù)或整數(shù)的過程，叫做繁分?jǐn)?shù)的化簡。繁分?jǐn)?shù)的化簡一般采用以下四種方法： 

1、擴(kuò)倍數(shù)

繁分?jǐn)?shù)化簡的另一種方法是：根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，經(jīng)繁分?jǐn)?shù)的分子部分和分母部分同時擴(kuò)大相同的倍數(shù)，從而去掉分子部分和分母部分的分母，然后通過計算化為最簡分?jǐn)?shù)或整數(shù)。 

2、逐步法

繁分?jǐn)?shù)的化簡一般由下至上，由左到右，逐次進(jìn)行化簡。

可以把分子部分和分母部分都統(tǒng)一成小數(shù)后，進(jìn)行約分，中間約分時，把小數(shù)看成整數(shù)，但要注意小數(shù)點不要點錯位置。

也可以根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，把繁分?jǐn)?shù)的分子部分和分母部分都變成整數(shù)連乘，然后交叉約分算出結(jié)果來。

3、拆分法

利用整數(shù)的運算性質(zhì)進(jìn)行化簡，通?？捎?strong>拆分法或找規(guī)律法。 

4、倒數(shù)法

利用分?jǐn)?shù)倒數(shù)的性質(zhì)：

（三）示例講解1、計算：

（北京市第三屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競賽）

解：采用逐步法，自下而上進(jìn)行計算

2、已知：

則x等于多少？

（1999年全國數(shù)學(xué)奧林匹克決賽）

【解法一】

采用逐步法，自下而上化簡

解此方程，可得x=1.25

【解法二】

倒數(shù)法，利用倒數(shù)的性質(zhì)有：

于是：

所以：

從而可以解出x=1.25

3、化簡下述分?jǐn)?shù)：

我們可以把2002×2003拆分如下：

2001×2003+2003

然后再進(jìn)行計算。

解：原式

4、化簡下述分式：

此題可先用拆分法，把分子算出來，得36，再拆分成6×6。

然后對于分母較大的數(shù)，可找規(guī)律：

1×1=1

11×11=121

111×111=12321

……

n個1情況：

1…1×1…1=123…(n-1) n (n-1)……321

所以這里的分母：

666666×666666

=(111111×6)×(111111×6)

=(111111×111111)×(6×6)

解：原式

（四）同類拓展

1、化簡：(北京市第一屆迎春杯競賽試題)

答案：2

2、計算：(第一屆“華羅庚金杯”數(shù)學(xué)邀請賽)

答案：

3、計算：（第三屆華杯賽復(fù)賽）

答案：

4、計算：（第三屆華杯賽復(fù)賽）

答案：1

5、計算：

答案：0.6

6、計算：

答案：43/114

7、計算

答案：102/2009

8、計算：

答案：191/384

提示，除第一項(1/2)外，通項公式為：

上述n=7。

9、計算

答案：257/768

提示，除第一項(1/2)外，通項公式為：

上述n=8。