追及問題：是指兩個(gè)在同一方向上運(yùn)動(dòng)的物體，其中一個(gè)走得快，另一個(gè)走得慢，當(dāng)走得慢的在前，走得快的過了一些時(shí)間就能追上走得慢的，這就叫作追及問題。

本期谷老師通過幾道示例，講述下解答這類問題應(yīng)注意的事項(xiàng)。

每天叫醒你的不是鬧鐘，而是夢(mèng)想和態(tài)度

難易指數(shù)：★★★★

適宜對(duì)象：小學(xué)培優(yōu)

本期編號(hào)：D00049

關(guān)鍵詞：追及問題、奧數(shù)舉一反三

示例1-基礎(chǔ)：已知一輛面包車的速度是每小時(shí)行駛60千米，其從“花都”開往“天河”。在面包車出發(fā)半小時(shí)后，一輛小轎車以每小時(shí)84千米的速度從同一地點(diǎn)“花都”開往“天河”，請(qǐng)問經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，小轎車可以追趕到這輛面包車？

思路分析

"追及問題"我們需要分析如下幾個(gè)問題：

• 能追上，需要滿足的基本條件：慢的走在前面，快的走在后面

• 求解的關(guān)鍵問題：速度差、路程差

• 求解公式：追及時(shí)間=路程差÷速度差

[解答]

面包車先出發(fā)，其經(jīng)過半個(gè)小時(shí)以后，走過的路程為30千米，因此小轎車需要追趕的距離為30千米。

而小轎車一小時(shí)能夠追趕的路程為：

84-60=24（千米）

因此小轎車追趕上面包車的時(shí)間為：

30÷24=1.25（小時(shí)）

答：經(jīng)過1.25小時(shí)后，小轎車追趕上面包車。

示例2-環(huán)形跑道：環(huán)形跑道一圈長(zhǎng)為400米，甲、乙兩人同時(shí)從同一起跑線沿跑道同向而行，甲每分鐘走120米，乙每分鐘走100米。問：

(1)甲第一次追上乙時(shí)，兩人各走了多少米？

(2)甲第二次追上乙時(shí)，在起跑線前多少米？

(3)甲第二次追上乙時(shí)，兩人各走了多少圈？

思路分析

很明顯，甲第一次追上乙時(shí)，甲比乙多走400米。

甲第二次追上乙時(shí)，甲比乙多走800米。

解答

(1)甲第一次追上乙時(shí)，兩人各走了多少米？

甲和乙的速度差為：

120-100=20(米/分鐘)

甲第一次追上乙時(shí)，所用的時(shí)間為：

400÷20 = 20(分鐘)

因此，甲乙各走了：

甲：20×120=2400(米)

乙：20×100=2000(米)

(2)甲第二次追上乙時(shí)，在起跑線前多少米？

甲第二次追上乙時(shí)，所用的時(shí)間為：

800÷20 = 40(分鐘)

因此甲走了：

40×120=4800(米)

共4800÷400=12(圈)

所以甲恰好在起跑線上。

(3)甲第二次追上乙時(shí)，兩人各走了多少圈？

由(2)知：甲走了12(圈)

此時(shí)，乙走了：

40×100=4000(米)

乙共走了：

4000÷400=10(圈)

示例2-多人追及問題：有甲、乙、丙3人，甲每分鐘走40米，丙每分鐘走60米，甲、乙從A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，他們出發(fā)15分鐘后，丙從B地出發(fā)去追趕乙。甲、乙先在途中相遇，7分鐘后甲又與丙相遇，又過63分鐘丙才追上乙，求A、B兩地相距多少千米？

思路分析：

根據(jù)題意，根據(jù)甲、乙、丙三人的相遇情況，畫出如下示意圖：

解答：

根據(jù)上述分析，乙用70分鐘所走的路程為：

ED-CD = 60×63 - 40×7 = 3500(米)

故乙的速度為：

3500 ÷ 70=50(米/分鐘)

乙比丙早出發(fā)15分鐘，乙走了：

15 × 50=750(米)

乙和丙的速度差：

60 - 50=10(米/分鐘)

乙追上丙花費(fèi)的時(shí)間為：

750 ÷ 10=75(分鐘)

那么乙總共走了：

75 + 15=90(分鐘)

乙走CB段(甲走AB段)，花費(fèi)的時(shí)間為：

90 - 70=20(分鐘)

故，AB兩地的路程為：

20 × (40+50) =1800(米)

溫馨總結(jié)

1.明白能夠追及的條件。

2.理清追及時(shí)間和路程差及速度差之間的關(guān)系。

3.能靈活運(yùn)用“追及問題”思路，分析與之類似的問題。

同類拓展

1.基礎(chǔ)訓(xùn)練：甲、乙兩地相距240千米，一輛快車從甲地出發(fā)，每小時(shí)行駛95千米，同時(shí)，一輛慢車從乙地出發(fā)，每小時(shí)行駛65千米。兩車同向行駛，慢車在前，快車在后，經(jīng)過多少小時(shí)快車追上慢車？

答案：8小時(shí)。

2.創(chuàng)新訓(xùn)練：從時(shí)針指向4點(diǎn)開始，再過幾分，時(shí)針正好與分鐘重合?

答案：240/11。

3.環(huán)形追及：如圖，半徑分別是 8 和 28 的兩個(gè)圓盤。大圓是固定的。小圓在大圓的外面，沿“大圓”圓周按逆時(shí)針方向滾動(dòng)。開始時(shí)“小圓”圓周上的 A 點(diǎn)與“大圓”圓周上的B點(diǎn)重合。當(dāng)A、B 兩點(diǎn)再次重合時(shí)， A 至少繞“小圓”圓心轉(zhuǎn)動(dòng)了__ 圈

(2009 年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽)

答案：9圈。

4.多人追及：甲、乙、丙三人從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿同一路線追趕前面的小舟，這時(shí)三人分別用5分鐘、8分鐘、10分鐘追上小舟。已知甲每小時(shí)走36千米，乙每小時(shí)走30千米。求丙的速度？

答案：丙的速度是每小時(shí)28千米。

5.能力提高：甲、乙二人進(jìn)行游泳追逐賽，規(guī)定兩人分別從游泳池50米泳道的兩端同時(shí)開始游，直到一方追上另一方為止，追上者為勝。已知甲、乙的速度分別為1.0米／秒和0.8米／秒。問：

（1）比賽開始后多長(zhǎng)時(shí)間甲追上乙？

（2）甲追上乙時(shí)兩人共迎面相遇了幾次？

（3）比賽過程中,兩人同方向游了多長(zhǎng)時(shí)間?

答案：250秒、4次、125秒

6.超前思考：公元前5世紀(jì)，芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論。

他提出讓烏龜在阿基里斯前面1000米處開始，和阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍。

• 當(dāng)比賽開始后，若阿基里斯跑了1000米，設(shè)所用的時(shí)間為t，此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他100米；

• 當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)100米時(shí)，他所用的時(shí)間為t/10，烏龜仍然前于他10米；

• 當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)10米時(shí)，他所用的時(shí)間為t/100，烏龜仍然前于他1米…… 

無限分割下去，芝諾認(rèn)為，阿基里斯能夠繼續(xù)逼近烏龜，但決不可能追上它。（注：阿基里斯，是希臘神話中的英雄。）

關(guān)于上述問題，請(qǐng)思考下：“阿基里斯”能否追上烏龜。