“雞兔同籠”是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名題之一。大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個(gè)有趣的問(wèn)題。書中是這樣敘述的：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？

顯然，題中有2個(gè)元：雞、兔，用初中“二元一次方程組”來(lái)解答，是非常容易的。但此種類型的題，卻頻繁出現(xiàn)在各種小學(xué)奧賽當(dāng)中，到底是為何？本期谷老師通過(guò)講解“雞兔同籠”問(wèn)題的解答方法，來(lái)探討下這類題在教學(xué)上的意義。

每天叫醒你的不是鬧鐘，而是夢(mèng)想和態(tài)度

難易指數(shù)：★★★★★

適宜對(duì)象：小學(xué)培優(yōu)

本期編號(hào)：D00024

《孫子算經(jīng)》：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？

(有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭，從下面數(shù)，有94只腳。問(wèn)籠中各有多少只雞和兔？)

思路分析：

"百度百科"上總結(jié)了"雞兔同籠"問(wèn)題求解的基本公式：

(總腳數(shù)-總頭數(shù)×雞的腳數(shù))÷(兔的腳數(shù)-雞的腳數(shù)) = 兔的只數(shù) (雞兔交換為雞的只數(shù))

解決"雞兔同籠"問(wèn)題的關(guān)鍵是怎么處理"雞"和"兔"之間的關(guān)系，將求解2個(gè)元的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求解一元。很明顯，它們之間腳的關(guān)系是：

兔比雞的腳多2個(gè)。

解答1（套用公式）

根據(jù)上述公式，我們可以得出，兔的數(shù)目為：

(94-35×2) ÷ (4-2) = 12(只)

(35×4-94) ÷ (4-2) = 23(只)

好像很簡(jiǎn)單的樣子，那么問(wèn)題來(lái)了，這個(gè)公式什么意思？

解答2（假設(shè)法）

假設(shè)35只動(dòng)物全是雞，那么就應(yīng)該有35×2=70只腳，但實(shí)際上有94只腳，比假設(shè)的情況少了94-70=24只腳，出現(xiàn)這種情況是因?yàn)榘淹卯?dāng)成了雞，因此就會(huì)少：“兔的數(shù)目×2”只腳，于是有：

兔的數(shù)量：24 ÷2 = 12(只)

雞的數(shù)量：35 - 12 = 23(只)

這是不是對(duì)上述公式的一種理解呢？

    那么請(qǐng)問(wèn)，我們假設(shè)35只動(dòng)物全是兔，應(yīng)該怎么做呢？

解答3（抬腳法）

我們讓“可愛的兔子”抬起兩只腳，于是，腳的只數(shù)為：35 × 2 = 70(只)。對(duì)比原來(lái)是94只，相差24只，這是由于兔子抬起兩只腳導(dǎo)致的，于是：

兔的數(shù)量：24 ÷ 2 = 12(只)

雞的數(shù)量：35 - 12 = 23(只)

這是不是對(duì)上述公式的另外一種理解呢?

那么，請(qǐng)問(wèn)讓兔子“抬起2只腳”的真正目的是什么呢？

后面還有更精彩的！

解答4（孫子算經(jīng)：砍足法）

將雞和兔的腳各自砍掉一半，那么雞就剩下一只腳，而兔兩只腳。腳的數(shù)目為原來(lái)的一半：94÷2=47只。

此時(shí)，雞的腳數(shù)和其頭數(shù)一樣，而兔的腳數(shù)則是其頭數(shù)的一倍，因此，

兔的數(shù)量為：47 - 35 = 12(只)

雞的數(shù)量為：35 - 12 = 23(只)

同樣，請(qǐng)問(wèn)“砍足法”的真正目的是什么呢？

解答5（等差數(shù)列）

我們知道，兔的腳比雞的腳多2只，因此，腳的數(shù)目的最大值和最小值分別是：

全部為兔，腳最多：35×4 = 140(只)

全部為雞，腳最少：35×2 = 70(只)

我們從腳的最少數(shù)目開始，即：初始情況全部為雞，逐步減少雞的數(shù)量，同時(shí)增加兔的數(shù)量。

(35, 0)-->70

(34, 1)-->72

(33, 2)-->74

(…，…)-->?

可以看出，這是以首項(xiàng)為70，公差為2的等差數(shù)列，其通項(xiàng)為：

任一項(xiàng) = 首項(xiàng) + 公差×(項(xiàng)號(hào)-1)

因此，當(dāng)腳的數(shù)目為94，即某一項(xiàng)的值為94時(shí)，求其項(xiàng)號(hào)。

項(xiàng)號(hào) = (94-70)÷2 + 1 = 13

第13項(xiàng)，兔子的數(shù)目為12(只)，因此雞的數(shù)目為23(只)。

解答6（窮舉列表法）

根據(jù)題意，我們可以采用列表的方法來(lái)解答：

精彩還將繼續(xù)！

解答7（估算法）

從上面“解答5”可知，腳數(shù)目的最大值和最小值分別是：

全部為兔，腳最多：35×4 = 140(只)

全部為雞，腳最少：35×2 = 70(只)

現(xiàn)在腳的數(shù)目為94只，我們可以采用如下所示的方法來(lái)估算。

假設(shè)有一半是兔子，即兔子：35÷2=17.5，取17只，雞：18只。于是，腳的數(shù)目為：

2×18 + 4×17 = 104 > 94

因此，兔子數(shù)目介于[0,17]之間。再取，兔子：17÷2 = 8只(取整數(shù)),雞為：27只。于是，腳的數(shù)目為：

2×27 + 4×8 = 86 < 94

此時(shí)，兔子數(shù)目介于[8,17]之間，再次，“對(duì)半”，兔子：12只，雞23只。此時(shí)腳的數(shù)目恰好為94只。

此方法是不是有點(diǎn)類似于我們之前介紹的“分而治之”算法:

D00012期：最大公約數(shù)和“分而治之”算法

向我們偉大的計(jì)算機(jī)算法研究者致敬吧！

溫馨總結(jié)

1）假設(shè)法是一種解決多元問(wèn)題的有效方法。

2）計(jì)算機(jī)算法對(duì)某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解很有幫助。

3）課本上的題，就像“真空中的球形雞”，過(guò)于理想化，而真實(shí)情況往往是復(fù)雜多變的?！半u兔同籠”恰恰就是這樣一種脫離于課本，源于生活的問(wèn)題。解決這樣的問(wèn)題，有利于鍛煉學(xué)生的思維。

4）一題多解，能開拓我們的思路，豐富我們的想象力。

同類拓展：

1. 變形一：有鋼筆和鉛筆共27盒，共計(jì)300支。鋼筆每盒10支，鉛筆每盒12支，則鋼筆、鉛筆分別有多少盒？

答案：鋼筆12盒，鉛筆15盒。

2. 變形二：一道試卷共12道題，答對(duì)得10分，答錯(cuò)扣5分，最終阿黃得了90分，請(qǐng)問(wèn)他答對(duì)幾道題？答錯(cuò)幾道題？

答案：答對(duì)10道，答錯(cuò)2道。

3.  創(chuàng)新訓(xùn)練：一道試卷共20道題，答對(duì)得10分，答錯(cuò)扣20分，不答得0分，最終阿黃得了70分，請(qǐng)問(wèn)他答對(duì)幾道題？答錯(cuò)幾道題？

答案：答對(duì)15道，答錯(cuò)4道。

4. 能力提高：蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對(duì)翅膀，蟬有6條腿和1對(duì)翅膀，現(xiàn)有這三種動(dòng)物共有18只，共112條腿，22對(duì)翅膀，則蜘蛛、蜻蜓、蟬各有幾只？

答案：蜘蛛2只，蜻蜓6只，蟬10只。