“邏輯推理”是一種綜合應用題，考察學生對題意的理解能力，對細節(jié)的把握能力，及面對問題的分析能力。我們要想正確地解答這類題，不光需要運用課本所學知識，還需要對日常生活中常見問題進行思考和總結。本期谷老師通過分析“強盜分贓”問題，來講解這類題的注意事項。

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難易指數(shù)：★★★★

適宜對象：小學培優(yōu)

本期編號：D00021

示例1：有五個強盜搶得100枚金幣，在如何分贓問題上爭吵不休。于是他們決定：

(1)抽簽決定各人的號碼(1，2，3，4，5)；

(2)由1號提出分配方案，然后5人表決，如果方案超過半數(shù)同意就被通過，否則他將被扔進大海喂鯊魚；

(3)1號死后，由2號提方案，4人表決，當且僅當超過半數(shù)同意時方案通過，否則2號同樣被扔進大海；

(4)依次類推，直到找到一個每個人都接受的方案(當然，如果只剩下5號，他當然接受一人獨吞的結果)。

假定每個強盜都是經(jīng)濟學假設的“理性人”，都能很理智地判斷得失，作出選擇。為了避免不必要的爭執(zhí)，我們還假定每個判決都能順利執(zhí)行。那么，如果你是第一個強盜，你該如何提出分配方案才能夠使自己的收益最大化？

思路分析

為了使自己的利益最大化，每個強盜的思路應該都是這樣的：

1、盡可能保住自己的性命；

2、盡可能得到更多的金幣；

3、盡可能殺死更多的同伙。

解答

5個強盜的思考邏輯如下所示：

因此，1號的最佳金幣分配方案是：

(97，0，1，2，0)或(97，0，1，0，2)

而2號的分配方案是：(98，0，1，1)

然而事情并沒完！

如果又新來了一個強盜甲呢？如何分配？

新來的強盜會想：

于是，其最合理的分配方案是：

(94，0，1，2，3，0)或(94，0，1，2，0，3)

思考下：下述分配可以嗎？

(96，0，1，2，0，1)或(96，0，1，2，1，0)

此時，如果又來了個強盜乙呢？

強盜乙想：

所以，強盜乙最合理的分配方案是：

(94，0，1，2，3，0，0)

又來了強盜丙和??？

都什么世道了，還這么多強盜？?

依據(jù)上面的分析，我們將會得到下面的結果：

丙：(90,0,1,2,3,4,0,0)或(90,0,1,2,3,0,4,0)或(90,0,1,2,3,0,0,4)

?。?90,0,1,2,3,4,0,0,0)

一大波強盜來襲

后面又來了n個強盜呢？

根據(jù)前面的分析，可歸納為，任意一個強盜n(n≥6)：

n為偶數(shù)：

(100-1-2-3-……-n/2, 0,1, 2, 3, ……,n/2, 0, 0,…… )

其中，最后的0都可以換成n/2。

n為奇數(shù)：

(100-1-2-3-……-(n-1)/2, 0,1, 2, 3, ……,(n-1)/2, 0, 0,……)

總結

1）邏輯推理，需要對問題進行全面的思考，把握好所有的細節(jié)。

2）頭腦靈活，不拘泥于某一場景。

3）還需要反過來驗證推斷結果是否合理。

同類拓展：

1. 示例1的分析，會不會有意外？如果4號的金幣分配方案是：輪到自己時，將所有金幣給5號呢？

2. 阿凡提“九死一生”：

古時候有個殘酷的國王，十分嫉妒阿凡提的聰明才智。有一次他抓住了阿凡提，一心想整死他，但又顧及到體面，就故意想了一個自認為天衣無縫的辦法。

他對阿凡提說：你現(xiàn)在可以說一句陳述的話，但是如果你說的是真話，我將用絞刑架吊死你，如果你說的是假話，我將用油鍋炸死你。結果阿凡提說出一句話，國王拿他一點招也沒有。問：阿凡提說的是一句什么話？

答案：國王要炸死我。

3. 神仙指路：有個智者去找神仙，走到一個三岔路口，不知道往左走還是往右。路口邊站著兩個天使，他倆一個永遠說真話，另一個永遠說假話，現(xiàn)在要求這個智者只能向其中一位天使問一句話，就確定神仙的方位。請問：這個智者怎么問才能有結果？

答案：隨便對其中一位天使說：如果我問那位天使神仙在哪邊，他會說哪邊？

4. 有天夜里5個強盜A、B、C、D、E搶到一大堆金幣（金幣個數(shù)不超過n個，n<=100000000），可是怎么也無法平均分成5份，吵吵嚷嚷……

吵累了，只好先睡覺，準備第二天再分。

夜深了，一個強盜A偷偷爬起來，先拿了一個金幣私下放自己口袋藏好，再將金幣分為5等份，將自己的那一份再私藏好就去睡覺了。

隨著第二個強盜B也爬起來，也是私拿了一個金幣再分5等份，也私藏起自己那份就睡覺去了。

后來的三個強盜C、D、E也都是這樣辦的。

問最初有多少個金幣？

答案：至少3121個，可設最初金幣為x個，可得：

A = 4(x-1)/5

B = 4(A-1)/5 = 4(4x-9)/25

C = 4(C-1)/5 = 4(16x-61)/125

D = 4(C-1)/5 = 4(64x-369)/625

E = (C-1)/5 = (256x-2101)/3125

E必須為正整數(shù)，設為n，則：

x = (3125n+2101)/256，化簡后

x = 8+12n+53(1+n)/256

因此，只要滿足53(1+n)被256整除即可，n至少為255，于是x至少3121(個)