點擊領(lǐng)取>>>北京各學(xué)校初一初二初三上學(xué)期期中考試真題及答案解析

三角形的三條線：角平分線、中線、高是很重要也很很神奇的三條線，結(jié)合著全等三角形我們來研究一下。

這三條線中，高是相對來說比較沒有地位的，涉及到高的題目一般來說不會太難。因為處理高的辦法比較多，還有面積可以幫助，但是中線和角平分線就會麻煩很多。舉個例子，給定一個三角形，讓你求高的長度，和求中線或者角平分線的長度，你是不是頓時覺得后面兩個挺難求的？如果不用三角的方法確實不大好做，但是高的話你用一下勾股定理就出來了。

事實上，在和全等相關(guān)的那些問題中，有時候是中線的題目難，有時候是角平分線的題目難，我們來看一些具體的例子。

例1  已知△ABC和△DEF中，∠B=∠E，∠C=∠F，AG是∠BAC的角平分線，DH是∠EDF的角平分線，且AG=DH，求證：△ABC和△DEF兩個三角形全等。

首先，既然有兩個角相等，由三角形內(nèi)角和定理知，第三個角必然相等。像這樣直接得到的結(jié)論，就要標(biāo)注在∠C=∠F的后面，同時，在圖上做出標(biāo)記，表示∠B=∠E，∠C=∠F，避免反復(fù)讀題浪費時間。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中這樣的刻意訓(xùn)練是必不可少的，這也是提高解題速度的一個基本方法，而角平分線的條件告訴我們，∠BAG=∠CAG=∠EDH=∠FDH。像這些能標(biāo)記的都標(biāo)上。

對于目標(biāo)三角形來說，只有兩個角的條件，缺一條邊，所以肯定不能直接證明全等，但是對于△BAG和△EDH來說，全等的條件顯然是夠了，于是我們得到AB=DE，再結(jié)合∠B=∠E，∠C=∠F，命題得證。

如果我們把角平分線換成高，你會發(fā)現(xiàn)幾乎是一樣的作法，先通過兩個小三角形全等得到AB=DE，然后大三角形全等。

自然的，下一個問題就是中線。

我們把題目做一些調(diào)整：已知AB=DE，AC=DF，AG和DH分別是對邊上的中線，且BC=EF，求證△ABC全等于△DEF。

目標(biāo)是什么？既然是兩邊對應(yīng)相等了，所以要么證明∠BAC=∠EDF，要么證明BC=EF，證明其他角相等沒用，SSA是沒有辦法判定全等的。

問題來了，怎么證？

我們會發(fā)現(xiàn)就像拳頭打在棉花上一樣軟弱無力。這個中線的條件該怎么用？既不能直接給我們夾角相等，又不能給我們第三邊相等——因為無論和哪條邊搭配，始終都是兩條邊對應(yīng)相等，不滿足全等的條件，這時候該怎么辦？

天空傳來一個聲音：中線嘛，倍長吧。

我們分別延長AG和DH一倍，使得GJ=AG，DH=HK，于是有△ABG全等于△JCG，△DEH全等于△KFH，然后呢？

然后當(dāng)然是觀察有沒有能把兩邊聯(lián)系起來的全等??！

我們發(fā)現(xiàn)，AG倍長成AJ后，和DK是相等的，而AC=DF，CJ=AB=ED=FK，于是得到△AJC全等于△DKF，這是一個好兆頭！因為我們要的就是這樣的聯(lián)系。

于是可以得到∠J=∠K，∠JAC=∠KDF，而∠J=∠BAG，∠K=∠EDH，相加就得到∠BAC=∠EDF了，目標(biāo)得證。

這是中線比角平分線麻煩的例子，下一次我們來看角平分線比中線麻煩的例子。

聲明：本文信息來源于網(wǎng)絡(luò)整理，由網(wǎng)站團隊（微信公眾號搜索：北京小學(xué)學(xué)習(xí)資料）排版編輯，若有侵權(quán)，請聯(lián)系管理員刪除。

掃碼添加“家長論壇”微信好友（微信號 16619908263）

獲取最新北京各學(xué)校初一初二初三上學(xué)期期中考試真題及答案解析！

咨詢北京初中期中考試沖刺課請撥打電話 16619908263 （同微信號）