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等距點

在平面直角坐標系xOy中，對于P，Q兩點給出如下定義：若點P到x、y軸的距離中的最大值等于點Q到x、y軸的距離中的最大值，則稱P，Q兩點為“等距點”．下圖中的P，Q兩點即為“等距點”．

(1)已知點A的坐標為(-3，1)，

①在點E(0，3)，F(3，-3)，G(2，-5)中，為點A的“等距點”的是________；

②若點B在直線y=x+6上，且A，B兩點為“等距點”，則點B的坐標為________；

(2)直線l：y=kx-3(k>0)與x軸交于點C，與y軸交于點D，

①若(-1,)，(4,)，是直線l上的兩點，且與為“等距點”，求k的值；

②當k=1時，半徑為r的⊙O上存在一點M，線段CD上存在一點N，使得M，N兩點為“等距點”，直接寫出r的取值范圍．在平面直角坐標系xOy中，對于P，Q兩點給出如下定義：若點P到x、y軸的距離中的最大值等于點Q到x、y軸的距離中的最大值，則稱P，Q兩點為“等距點”．下圖中的P，Q兩點即為“等距點”．

(1)已知點A的坐標為(-3，1)，

①在點E(0，3)，F(3，-3)，G(2，-5)中，為點A的“等距點”的是________；

②若點B在直線y=x+6上，且A，B兩點為“等距點”，則點B的坐標為________；

(2)直線l：y=kx-3(k>0)與x軸交于點C，與y軸交于點D，

①若(-1,)，(4,)，是直線l上的兩點，且與為“等距點”，求k的值；

②當k=1時，半徑為r的⊙O上存在一點M，線段CD上存在一點N，使得M，N兩點為“等距點”，直接寫出r的取值范圍．

【解析】

又見距離類的新定義。第一問的圈1和圈2，難度都不算大，讀懂題意即可得分。

第二問的圈1，兩個點四個坐標，如果成為等距點，分類討論即可，無非是橫縱坐標分別相等，一定要注意再驗證一下，難度和計算量都不大。

第二問的圈2，需要認真思考。

先來分析線段CD上的任意一點“到坐標軸距離的最大值”的最大值和最小值，當點N位于CD中點時，取得最小值，當點N位于端點時，取得最大值，因此，線段CD上任意一點“到坐標軸的距離”取值范圍是大于等于3/2，小于等于3。

再來分析當圓的半徑發(fā)生變化時，點M“到坐標軸的距離”應該能夠覆蓋的了3/2到3這個范圍。因此，圓上點M的“到坐標軸的距離”的最大值為3/2時，圓的半徑為3/2，圓上點M的“到坐標軸的距離”的最小值為3時，圓的半徑為3倍的根號2。因此，可得圓的半徑。

朝陽區(qū)

直角距離

【解析】

朝陽的新定義綜合題依然是“距離”。各個區(qū)縣在“距離”定義上不厭其煩的考，考生一定也不都會覺得陌生。本題這個定義的格式，歷史悠久，也是一道老的不能再老的新定義題目了，伴隨著北京中高考的改革一路走來，“折磨”了一屆又一屆的考生，高中生、初中生無一幸免幸免。這類試題，對思維品質(zhì)要求非常高，作出正確答案比較容易，但是要讓考生甚至新手老師講清楚、說明白卻也并不容易。

“直角距離”也叫做“出租車距離”，理解定義的關鍵在于這個距離是兩個數(shù)據(jù)的“和”，是兩個點向坐標軸作垂線組成的直角三角形的兩條直角邊的長度之和。

第（1）問，幫助考生理解定義的送分題。

第（2）圈1，這是這道題目的關鍵部分，承上啟下。分析時，需要采取一定的步驟。直線被坐標系四個象限分成了三段，分別分析當點D位于直線在第四象限部分、直線在第二象限部分和直線的第一象限部分，如下圖所示。

第（2）圈2，需要重新理解圈1的解題經(jīng)驗。在圈1中，d(O,B)的最小值恰恰出現(xiàn)在點O的正上方，這是不是巧合？

思維鏈條比較長的題目，為了說得清楚，需要把思維放慢，鏈條分段，依據(jù)條件不斷獲取更多信息。我們需要分為三個步驟來處理這個問題。

第一個步驟：如下圖，不失一般性，在圓O上任意取定一點C，觀察點B在直線上運動時，d(B,C)的最小值如何求？當點B為任意一點B1時，對應的d(B,C)為Rt△B1CE的兩條直角邊的長度之和，當點B位于點C正上方的B0時，此時d(B,C)的值為線段CB0的長度，顯然，CB0的長度應該小于Rt△B1CE的兩條直角邊的長度之和（為什么？），于是當點C位置確定時，過點C作x軸的垂線與直線交于點B及為所求，此時d(B,C)取最小值。

第二個步驟：當點C在圓O上運動時，又該如何分析呢？由上面分析我們知道，d(B,C)的最小值其實就是當CB平行y軸時的CB0的長度，那么CB0和哪個數(shù)值有關呢？如下圖，過點C向直線作垂線垂足為H，顯然，CB0的長度和垂線段CH的長短有關。因為∠CB0H的大小是固定的，所以當CH最小值，CB0的值也最小。

第三個步驟：那么，CH什么時候取到最小值呢？這里用到一個典型的最值模型。過原點O向直線作垂線，此時的CH最?。槭裁?？），于是CB也最小，即d(B,C)取到最小值。結合基本直角三角形三邊關系，可以求得此時的最小值，計算過程如下圖所示。

【反思】

新定義試題的解題方法之前的試題解析中反復講過多次，在《北京中考數(shù)學壓軸題解題方法突破》中也詳細介紹過，在此就不再贅述?？忌雽⒋祟}完全弄明白，或者檢驗考生是否真正理解了分析的思路和思維的方法，我覺得最直接、高效的就是進行一下變式訓練，可以從兩個角度進行思考：

變式一：(2)圈1中將固定直線改為過定點(-2,3)的直線，為了降低難度，可以限定直線不經(jīng)過第四象限，點B是此動直線上任意一點，求d(O,B)的最小值。提示：精確的答案需要結合直線斜率k值進行表達；此處可以只分析思維過程，而不必寫出具體答案。

變式二：(2)圈2中將直線的一次項系數(shù)中的負的四分之三，改成正的三分之四，其余條件不變，看看是否還能夠分析出正確的最值情形？提示：此處需要寫出精確的答案。

如果考生果真是理解并掌握了原題的分析方法，而不是看答案之后“恍然大悟”，那么自然可以輕而易舉地解決這兩個變式訓練。自命不凡的高水平選手們，敢接受挑戰(zhàn)試一試么？

題外話：這樣的“距離”，最初見于2010廣東高考數(shù)學理科卷壓軸試題，以“折線距離”出現(xiàn)，2014年福建高考中也作為選擇題壓軸題出現(xiàn)。廣東2010年高考之后，緊接著在2011年1月份的期末考試當中，海淀西城都對其青睞有加，北京其他區(qū)縣隨后進行改造的題目也層出不窮。另外，北京高考對于“距離”的考察，曾推廣到了n元有序數(shù)組之中，作為創(chuàng)新題出現(xiàn)在理科卷的壓軸題位置。

通州區(qū)

對稱

【解析】

此類試題單純的考察“對稱”，需要首先通過做草圖的方式尋找解題思路，然后再結合分析其數(shù)量特征，也即確定點的坐標。最后兩個問題，可以借助下面的圖示進行分析。

此類對稱問題的分析，本質(zhì)上也是動態(tài)變化的分析，因此，依然可以遵循動態(tài)類試題的解題通法、解題原則進行。

另外，關于這樣的對稱，還可以借助2019年朝陽一模的一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題進行對比分析（2019年朝陽中考一模數(shù)學試題深度解析）。

請考生思考一下，解決動態(tài)問題的一般原則和方法是什么？自己是否在不同的題目中進行對比、并對分析方法不斷進行總結歸納呢？是否在隨后的練習之中再次進行檢驗呢？

西城區(qū)

平衡點

【解析】

最后一問的突破點在于如何利用“弧HK上的任意兩點都是圓C的一對平衡點”，為此，考慮特殊情況，即找三個特殊點，如圖所示，三個特殊點分別為切點S，端點H和K，具體可知，需使得線段ST=HM=KN=4，可得滿足條件時必有CH≤6且CK≤6。

請考生思考一下，在處理前所未見、無從下手的問題時，自己是如何尋找突破口的呢？這樣的處理方法在分析解決新定義題目中是否都是適用的呢？處理這樣不可預見的難點如何準備才算是未雨綢繆？

石景山區(qū)

正方距

【解析】

石景山這道題第一問很簡單；第二問，我個人的感覺是表述的不夠精確，取最小值到底是一種什么樣的情形，值得細細推敲；最后一問，屬于傳統(tǒng)的考察，半徑一定的動圓，如下圖所示的臨界位置，圖中黃色的直角三角形時分析和計算的關鍵。

豐臺區(qū)

等邊依附點

【解析】

最后一問屬于難點，據(jù)傳這個題目有兩個版本的標準答案。正確標準，應該是上面的這個答案。如何分析這個問題？關鍵還是要充分理解題意，而要使得分析顯得“一目了然”，還需要一些技巧。本題，圓上的點是動點，線段長度不確定位置更是“飄忽不定”，無形之中使得分析顯得困難，如何做出這個等邊三角形就是關鍵之中的關鍵。

如下左圖，當圓的半徑相對于線段長度足夠小時，顯然，滿足條件，圓上任意一點都可以成為線段的“等邊依附點”，因此，可以確定線段的長度上限是無窮大。

如下右圖，當圓的半徑相對于線段長較大時，必然不能保證圓上的任意一點都成為線段的“等邊依附點”，因此，圓的半徑不可能無限小。

所以，我們需要求出線段長度的最小值。

如下圖所示，當線段長度從小到大變化的過程中，存在如下臨界狀態(tài)，考生可以借助這個圖形進行理解分析。

同時，考生要思考一個問題，圖中這個位置求出的線段長是否可以取到？即不等號是否可以取到等號？為什么？是否可以借助題干信息或者圖示進行說理？更進一步，是否可以從幾何直觀上一目了然的感知到臨界的情形是否包含等號？

房山區(qū)

關聯(lián)整點

【解析】

本題難度不大，結合下面兩幅圖可以比較容易解決最后兩個小問題。

門頭溝區(qū)

關聯(lián)點

【解析】

本題在分析時，對作草圖也有比較高的要求。最后一問，作圖的關鍵是搞清楚點P的位置，點P在圓上，這個條件需要繼續(xù)加強，不然分析起來有難度。

密云區(qū)

直角距離

在平面直角坐標系xoy中，已知P(x1，y1)Q(x2，y2)，定義P、Q兩點的橫坐標之差的絕對值與縱坐標之差的絕對值的和為P、Q兩點的直角距離,記作d(P，Q).

即d(P，Q)=|x2-x1|+|y2-y1|

如圖1，在平面直角坐標系xoy中，A（1，4），B（5，2），

則d(A，B)=|5-1|+|2-4|=6. 

（1）如圖2，已知以下三個圖形：

 ①以原點為圓心，2為半徑的圓；

 ②以原點為中心，4為邊長，

  且各邊分別與坐標軸垂直的正方形；

③以原點為中心，對角線分別在兩條坐標軸上，對角線長為4的正方形.

     點P是上面某個圖形上的一個動點，且滿足d（O，P）=2 總成立.寫出符合題意的圖形對應的序號________.

（2）若直線 上存在點P使得d（O，P）=3，求k的取值范圍.  

（3）在平面直角坐標系xoy中，P為動點，且d（O，P）=3，圓心為M（t，0），半徑為1.  若上存在點N使得PN=1，求t的取值范圍. 

【解析】

這類試題，屬于傳統(tǒng)的模仿性試題了，非常適合考生拿來練手，最后兩問，可以借助下面的兩幅圖進行分析。需要說明的是，有不少新定義的綜合題，在分析參數(shù)的取值范圍是，有四個臨界位置，這時，需要注意一些計算的技巧，盡量減少計算量。

考生思考一下，本題的分析方法自己此前是否曾經(jīng)遇到過？四個臨界值的問題，不同題目的相同之處是什么？如果回答“否”——那么，我可以很客觀——但絕不是冷漠——地告訴你，你為中考新定義做的準備遠遠不夠或者說，你的努力跑偏了。如果你想挑戰(zhàn)高分滿分，需要找對方向、加把勁兒了！

平谷區(qū)

等距點

對于平面直角坐標系xoy中的圖形P，Q，給出如下定義：M為圖形P上任意一點，N為圖形Q上任意一點，如果M，N兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形P，Q間的“非常距離”，記作d（P,Q）．已知點A（4,0），B（0,4），連接AB．

（1）d（點O，AB）=        

（2）⊙O半徑為r，若d（⊙O，AB）=0，求r的取值范圍；

（3）點C（－3，－2），連接AC，BC，⊙T的圓心為T（t，0），半徑為2，d（⊙T，△ABC），且0<d <2，求t的取值范圍．

【解析】

本題最后兩問，可以參照下面的兩幅圖進行。最后一問，依然是四個臨界位置，如果考生做了此題，可以參照密云的題目對比分析，體會四個臨界位置的區(qū)別與聯(lián)系。

順義區(qū)

似中點

【解析】

第一問的標答，是不是搞反了？

第二問的圈1，作出線段MN的垂直平分線，計算其與坐標軸的交點坐標即可，難度也不大，計算也不復雜。

最后一小問，動圓問題，難度不大，分析的關鍵是使得動圓與MN的垂直平分線有交點即可，據(jù)此可以確定圓心的坐標。

延慶區(qū)

視角

【解析】

本題之中，動圓T的圓心在x軸上，且半徑恒為1。

第一問圈1，比較容易，送分題；

第一問圈2，需要認真分析，算是對“視角”概念的進一步理解，分析的關鍵是當直線上的點滿足什么條件時，才可以取到“視角”。通過分析，不難發(fā)現(xiàn)，當點距離圓心最近時，恰恰就是確定“視角”出現(xiàn)的點。過圓心向直線作垂線即可求得結果。

燕山區(qū)

稱心點

【解析】

此題屬于傳統(tǒng)的、典型的新定義類型。讀題的關鍵是獲取信息，獲取“稱心點”的判定條件——r/2≤PM≤3r/2.

第一問的圈2，可以參照下圖高清大圖進行分析。

最后一問，依然是四個臨界位置，如下圖所示，可以通過幾何直觀和解直角三角形求解。

大興區(qū)

水平正三角形

【解析】

本題的難點在于最后一問，最后一問的分析需要借助草圖進行，考生在考場上只需用鉛筆直尺進行作圖，找到臨界位置即可。另一方面，也需要考生在計算等邊三角形時，需要對邊的比例關系、對應頂點的坐標有比較靈活的處理方式。借助下面三個臨界圖形，可以求出6個臨界點的橫坐標。

考生可以繼續(xù)思考：為什么會是三種情形？是如何想到的？每種情形下的臨界位置在作圖時是借助什么進行確定的？這樣的分析方法具備一般性么？

懷柔區(qū)

直角點

【解析】

第二問，需要注意大圓的半徑，據(jù)此進行分析。

第三問，依然是解三角形，如果對幾何特征理解的比較好，解三角形就會既快且準，而這個能力是可以通過訓練達到的。

海淀區(qū)

基準距離

【解析】

難點在于最后一個小問題，分析的關鍵在于“n的最大值等于6”，據(jù)此可以列出下列不等式：

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